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应用对偶理论求解二次规划问题的一种方法的开题报告

1.研究背景与意义

二次规划（QuadraticProgramming,QP）是指目标函数为二次函数、约束条件为线性函数的优化问题。由于其重要性和广泛应用，二次规划一直是数学优化领域研究的热点之一。对偶理论是优化理论中的重要分支，它将优化问题的原问题（primalproblem）与对偶问题（dualproblem）联系在一起，为优化问题的求解提供了一种新的思路和方法。目前，求解二次规划问题的方法主要包括内点法、梯度投影法、活跃集法、子空间法等。然而，这些方法普遍存在求解效率低、难以应用于大规模问题等问题。因此，研究基于对偶理论的求解二次规划问题的方法具有重要的理论和实际意义。

2.研究内容与方法

本课题将采用对偶理论求解二次规划的方法，主要研究以下内容和方法：

(1)对偶问题的构建：建立原问题的对偶问题，包括对偶约束条件和对偶目标函数的构造。由于对偶问题的解可以提供原问题最优解的下界，因此对偶问题的构建对求解原问题具有重要意义。

(2)对偶算法的设计：根据对偶问题的特点，设计有效的求解算法，如对偶内点法、对偶梯度投影法、对偶活跃集法等。采用理论分析和数值实验相结合的方法，评估算法的收敛性、稳定性和求解效率。

(3)应用与推广：将所设计的算法应用于实际问题中，如机器学习、图像处理、金融工程等领域。推广所研究的方法，为二次规划问题的求解提供新思路和新方案。

3.研究进度与计划

本课题的研究进度与计划如下：

(1)2022年3月-6月：研究二次规划和对偶理论的基础知识，并对相关文献进行调研。

(2)2022年7月-11月：完成对偶问题的构建和对偶算法的设计，进行相关数值实验，比较不同算法的性能。

(3)2023年1月-4月：将所设计的算法应用到实际问题中，如支持向量机、图像压缩等。推广所研究的方法，撰写研究论文并发表。

(4)2023年5月-6月：完成论文修改和修改。

4.预期成果

通过本课题的研究，预期达到以下成果：

(1)建立对偶问题模型，设计有效的对偶算法，提高求解二次规划问题的效率和精度；

(2)将所研究的方法应用到实际问题中，促进优化理论在实际应用中的推广和发展；

(3)在相关学术期刊上发表科研论文，推广所研究的方法，提高研究成果的影响力和学术价值。

5.参考文献

[1]NesterovY.Introductorylecturesonconvexoptimization:Abasiccourse.SpringerScienceBusinessMedia,2013.

[2]BoydS,VandenbergheL.Convexoptimization[M].Cambridgeuniversitypress,2004.

[3]ZhangQ,SunJ.Aninterior-point-basedaugmentedLagrangianmethodforquadraticprogrammingwithinequalityconstraints[M].Springer,Cham,2019.

[4]SunJ,SunD,ZhangL.OntheconvergenceofsomemodifiedInexactaugmentedlagrangianmethodsforquadraticprogramming[J].ComputationalOptimizationandApplications,2017,67(2):399-419.

[5]DaiYH,FletcherR.ProjectedBarzilai-Borweinmethodsforlarge-scalebox-constrainedquadraticprogramming[J].Numericallinearalgebrawithapplications,2005,12(8):687-706.