期中考解答.doc

980413四機二甲 工程數學二 期中考 學號 姓名 以下四題任選二題作答,每題20分. (1). 純量場φ(x,y,z)=+,求在(2,1,1)處, φ(x,y,z)沿i+2j-k方向之變化率(即方向導數directional derivative). 解: =,在(2,1,1)處為 故所求為[]= = (2). z=代表一圓錐形曲面.P為此圓錐面上之一點. P點之x座標為1, y之座標為.求此曲面在P點之切平面方程式. 解: 令φ=,則φ=.此曲面在點P(1,-1,2)之 法線向量為或 切平面方程式為 或 (3) 證明向量函數F(x,y,z)=為保守場(conservative), 並求其勢能函數(potential function). 解: ==0 故為conservative. 得, 得 得 故 (4) 曲面x=, y=u-v+2 , z=uv. 求曲面上一點(1,2,1)之法線向量 解: ==u+v, =, = N= (u+v)i +(v–)j-k x==1, y=u-v+2=2 , z=uv=1.得u=v=1故N= 2i –j-3k 2. 封閉曲線C為從A(1,0)沿中心在原點之圓 到B(0,1),再沿水平直線到C(1,1), 再沿垂直直線回到A(1,0),完成一個循環. 若2D之向量函數F=, 試求沿A-B-C-A之循環線積分 (20%) 解: 本題之循環積分部份必為0,故僅求即可A到B: x=cos, y=sin, : 0~ =+=+=+= B到C: y=1,dy=0, =. C到A: x=1,dx=0, ==-1. 故 == 本題亦可利用葛林定理得=- 求出如下 =-=-=-= -=-. 其中-=-=- -=-=-=- -=故得= 3. 若A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).曲線C為三角形之三邊,即AB+BC+CA, 則為三角形ABC平面,若向量場F(x,y,z)=, 試驗證Stoke’s theorem 即 = (20%) 解:左== == AB: z=0,y=-x+1.x:1~0 =0 BC: x=0,z=-2y+2,y:1~0 ===-1 CA: y=0,z=-2x+2,x:0~1 =0 故得左==0-1+0=-1 ABC平面: 2x+2y+z=2, , , N=, 右=== ==--1=-1 4. 函數 f(x) = 2++cosx+7x+1, for -2x2 若以Fourier series表示為 , n=1,2,3… . 此Fourier series在x=1處及x=2處之收斂值為多少? (2) 求此級數之. (20%) 解 (1) f(1) = 2++cos1+7+1=+cos1+10, Fourier series(1)=+cos1+10 f(-2) = -16++cos2-14+1 f(2) = 16++cos2-14+1 Fourier series(2)= [f(-2)+ f(2)]/2= cos2+1 (2)= = = == =