千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第74炼-利用几何关系求解圆锥曲线问题.doc

利用几何关系求解最值问题 一、基础知识： 1、利用几何关系求最值的一般思路: （1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关 （2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位置关系。一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上。 （3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置 （4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。 2、常见的线段转移： （1）利用对称轴转移线段（详见例1） （2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移。 （3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化。 （4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径 （5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注意点在双曲线的哪一支上） 3、与圆相关的最值问题： （1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点 （2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦 解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为，若最小，则要取最大，在圆中为定值，在弦绕旋转的过程中， ，所以时，最小 （3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 （4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为 解：，则若最小，则只需最小即可， 所以点为过作垂线的垂足时，最小 过作圆的切线，则切线长最短 4、与圆锥曲线相关的最值关系： （1）椭圆：设椭圆方程为 ① 焦半径：焦半径的最大值为，最小值为 ，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直 ① 焦半径：焦半径的最小值为，无最大值，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直 ① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即 ② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为 二、典型例题： 例1：已知在平面直角坐标系中，点，为轴上一动点则的最小值为由已知可得：，但从图像上发现无论在何处，无法取到等号即使共线时等号也不成立关于轴的对称点从而有所以转化为可知当三点共线时，即 小炼有话说：（1）三点共线取得最值的条件：动点位于两定点之间时，则距离和取到最小值。同理；当动点位于两定点同一侧时，距离差的绝对值取到最大值。 （2）处理线段和（差）最值问题时，如果已知线段无法找到最值关系，则可考虑利用“线段转移法”，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件 例2：设抛物线上一点到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 思路：通过作图可观察到直接求的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知可得为到准线的距离，所以可根据抛物线定义转移为（其中是抛物线的焦点，），所以，观察图像可得： 答案：A 例3：已知过抛物线的焦点的弦与抛物线交于两点过分别作轴的垂线垂足分别为则的最小值为思路：设抛物线的准线为，由抛物线可知 。而由抛物线定义可得，所以即要求出的最小值只需求出的最小值由抛物线性质可知当轴时最小，所以 例4：已知点在抛物线的准线上过点作抛物线的切线若切点在第一象限是抛物线的焦点点在直线上点在圆上则的最小值为 B. C. D. 思路：由图像可知，固定点则圆上到距离的最小值所以只需在直线上找到与圆心距离最小的点即到直线的距离点坐标由可得准线方程为所以抛物线方程为 设则切线斜率从而即，所以直线方程，从而 上的点到直线距离的最小值是 B. C. D. 思路一：直接利用点到直线距离公式得到距离关于的函数设抛物线上的点则所以最小值为 思路二：本题也可将直线进行平移，平移至与抛物线相切，则两直线之间的距离即为