北京市西城区北京师范大学附中2023-2024学年高考数学五模试卷含解析.doc
北京市西城区北京师范大学附中2023-2024学年高考数学五模试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则等于（）
A． B．
C． D．
2．若为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数且，则实数的取值范围是()
A． B． C． D．
4．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（）
A． B． C． D．
5．若数列满足且，则使的的值为()
A． B． C． D．
6．过直线上一点作圆的两条切线，，，为切点，当直线，关于直线对称时，（）
A． B． C． D．
7．已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（）
A．30 B． C． D．62
8．已知函数，则下列结论错误的是()
A．函数的最小正周期为π
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
9．在菱形中，，，，分别为，的中点，则（）
A． B． C．5 D．
10．已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于()
A． B． C．- D．-
11．已知函数，，且，则（）
A．3 B．3或7 C．5 D．5或8
12．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，，，，则________，的面积为________．
14．展开式中项的系数是__________
15．已知，为正实数，且，则的最小值为________________.
16．若x，y满足，则的最小值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）讨论函数的极值；
（2）记关于的方程的两根分别为，求证：.
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求和的极坐标方程；
（2）过且倾斜角为的直线与交于点，与交于另一点，若，求的取值范围.
19．（12分）已知函数
（1）若，不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围.
20．（12分）已知函数.
（1）当时，判断在上的单调性并加以证明；
（2）若，，求的取值范围.
21．（12分）已知离心率为的椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)荐椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆分别交于，若直线、、的斜率成等差数列，请问的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
22．（10分）已知函数，.
（1）判断函数在区间上的零点的个数；
（2）记函数在区间上的两个极值点分别为、，求证：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
求出中不等式的解集确定出集合，之后求得.
【详解】
由，
所以，
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.
2、B
【解析】
由共轭复数的定义得到，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解
【详解】
由题意得，
因为，，
所以在复平面内对应的点位于第二象限．
故选：B
【点睛】
本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.
3、B
【解析】
构造函数，判断出的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，由解得，所以的定义域为，且，所以为奇函数，而，所以在定义域上为增函数，且.由得，即，所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.
4、D
【解析】
分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.
【详解】
设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.
【点睛】
本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的