线性代数妙用：怎样在Windows画图软件中实现28度旋转？.doc

线性代数的妙用：怎样在Windows画图软件中实现28度旋转？ 线性代数的妙用：怎样在Windows画图软件中实现28度旋转？ PAGE / NUMPAGES 线性代数的妙用：怎样在Windows画图软件中实现28度旋转？ 线性代数的妙用：怎样在 Windows 画图软件中实现 28 度旋转？ 在早期的小型图像编辑软件中，考虑到时间空间的限制，再加 上算法本身的难度，很多看似非常简单的功能都无法实现。比如说， 很多图像编辑软件只允许用户把所选的内容旋转 90 度、 180 度或 者 270 度，不支持任意度数的旋转。毕竟，如果我们只是旋转 90 度的整数倍，那么所有像素仅仅是在做某些有规律的轮换，这甚至 不需要额外的内存空间就能完成。但是，如果旋转别的度数，那么 在采样和反锯齿等方面都将会有不小的挑战。 不过， Windows 自带的画图软件聪明地用 skew 功能（中文版 翻译成 “扭曲 ”）部分地填补了无法自由变形的缺陷。随便选中图中 的一块区域，再在菜单栏上选择 “图像 ”→“拉伸 /扭曲 ”，然后在 “水平 扭曲 ”那儿填写一个 -89 到 89 之间的整数（表示一个角度值），再 按一下确定，于是整个图形就会像下图所示的那样被拉斜，其中 θ 就是你刚才填的度数。如果你填入的 θ是负数值，则倾斜的方向会 与下图方向相反。类似地， “垂直扭曲 ”功能会在竖直方向上对图形 进行拉扯，如果角度值为正数，则整个图形会变得左低右高，如果 角度值为负数，则整个图形会变得左高右低。 不过，这玩意儿对于我们来说似乎完全没用。估计 99% 的人在 使用画图软件的时候就从来没用过这个功能吧。如果真是这样，那 么今天的问题恐怕将会是大家最近一段时间见过的最有趣的问题了： 想办法利用 Windows 画图中的扭曲功能（近似地）实现 28 度旋转。 答案：如下图，首先水平扭曲 -14 度，然后垂直扭曲 25 度，最后 再水平扭曲 -14 度即可。这样的话，画板中被选中的内容将会被逆 时针旋转 28 度。 为什么？这是因为，扭曲的本质其实就是在原图上进行一个线 性变换。水平扭曲实际上相当于是对图像各行进行平移，平移量与 纵坐标的位置成正比。而这又可以看作是对每个点执行了下图所示 的矩阵乘法操作： 类似地，垂直扭曲则相当于对每个点执行了这么一个矩阵乘法 的操作： 另外，由于 因此 而最后一行就是大家非常熟悉的旋转矩阵！ 也就是说，连续执行上式中的三次扭曲，就可以实现旋转 θ度 了。其中，第一次扭曲和第三次扭曲都是水平扭曲 -θ/2度，当 θ = 28°时，我们应该填写的度数就是 -14 。麻烦的就是第二次扭曲： 它看上去并不符合垂直扭曲矩阵的标准形式。垂直扭曲矩阵中，左 下角那一项应该是 tan( θ，)而并非 sin( θ。)不过，我们完全可以用 正切值去模拟 sin( θ呀)！利用计算机可以解得，当 θ = 28 °时， sin(28 °)约为 0.469 ，离它最近的正切值是 tan(25 °) ≈ 0.466。因此， 我们在第二步的时候填入了垂直扭曲 25 度。 值得一提的是，实际上我们已经得到了一种非常高效并且非常 容易编写的图像旋转算法：只需要连续调用三次扭曲操作即可。而 每次扭曲操作本质上都是对各行或者各列的像素进行平移，因而整 个算法完全不需要任何额外的内存空间！根据 Wikipedia 的描述， 这种方法是由 Alan Paeth 在 1986 年提出的。 由于 tan(25 °)并不精确地等于 sin(28 °)，因而这里实现的 28 度旋转也并不是绝对精确的。不过，画图软件本身还提供了水平缩 放和垂直缩放的功能，把它们也加进来的话，线性变换的复合将会 变得更加灵活，或许我们就能设计出一些更复杂但却更精确的旋转 方案了。这些问题就留给感兴趣的读者继续探究吧。