2012-2013第二学期线性代数B试卷A.docx

线性代数B课程号：课序号：01-17开课学院：数学与数量经济学院题号一二三四五六七八九总分题分1515101010151510100得分评阅人一、填空题（每小题3分，共15分）1.设，，，，是4维列向量，4阶行列式，，则4阶行列式__________.2．设矩阵，则的秩为.3．设矩阵，为4阶单位矩阵，且，则.4．如果一个3阶矩阵的行秩是2，经过5次初等变换后得到矩阵，则矩阵的列秩是.5．若4阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，，，，则行列式.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设是阶矩阵，则.(A)当时，一定有； (B) 当时，一定有 ；(C) 当时，一定有 ； (D) 当时，一定有 。2.设阶方阵可逆，是的伴随矩阵，则.（A）；（B）；（C）；（D）。3. 设阶矩阵的秩，为阶单位矩阵，下述结论中正确的是 .（A）的任意个列向量一定线性无关；（B）的任意一个阶子式不等于零；（C） 如果矩阵满足，则；（D） 通过初等行变换，一定可以化为的形式。4. 设向量组，，线性无关，则下列向量组线性相关的是 . （A），，；（B） ，，；（C），，；（D），，。5.设有齐次线性方程组，，其中，均为阶矩阵，则下列结论正确的是.（A）如果的解均是的解，则；（B）如果，则的解均是的解；（C）如果，则与同解；（D）如果，则的解均是的解。三、（10分）计算阶行列式。四、（10分）设矩阵满足，其中，为的伴随矩阵，求矩阵。五、（10分）已知，，，，，求这个向量组的秩和一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。六、（15分）讨论为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解（用导出组的基础解系表示）。七、（15分）设实对称矩阵，求一个正交矩阵和对角矩阵，使。八、（10分）设阶矩阵满足，证明。答案：一、填空题1、12、13、4、25、24二、选择题1、B2、C3、C4、A5、A三、解：………5分=………5分四、解：，，，，………5分………5分五、解：………5分，是一个极大无关组，，………5分六、解： (1)当时，有唯一解；………5分 (2)当时，，无解；………5分 (3)当时，，有无穷多解，特解为，导出组的基础解系为，，通解为，。………5分七、解：，特征值为，………5分对应，解齐次线性方程组，得基础解系，，将其正交化，，，将其单位化，，………5分对应，解齐次线性方程组，得基础解系，将其单位化得，令，则………5分八、证：………5分，，………5分