超几何分布与二项分布.doc

第 PAGE 2 页 共 NUMPAGES 4 页 1．（2010广东，本小题满分12分） 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490，495，（495，500，…（510，515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示. （I）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量. （II）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列. （III）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率. 解：（I）重量超过505克的产品数量是 40×(0.05×5+0.01×5)=40×0.3=12件. （II）Y的可能取值：0,1,2 ，，， Y的分布列为 Y 0 1 2 P （III）以下的方法①②哪个正确？ ①利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率是0.3， 令为任取的5件产品中，重量超过505克的产品数量，则， 故所求概率为： ②从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率是 超几何分布与二项分布 一、超几何分布 一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为，为和中较小的一个． 我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，，的超几何分布．在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率，从而列出的分布列． 二、二项分布 （1）独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次独立重复试验． 次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ． （2）二项分布 若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是，其中．于是得到的分布列 … … … … 由于表中的第二行恰好是二项展开式 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作． 三、超几何分布与二项分布的区分 （1）假定某批产品共有N个，其中有M个次品，从中不放回的依次抽出n件产品，那么次品数X的概率分布如何？（也可这样说：每次取出1件，不放回地取了n次。也可以说一次取出了n件。） 从中任意抽出1件产品，是次品的概率是，， 数学期望，方差。 （2）假定某批产品共有N个，其中有M个次品，从中有放回的依次抽出n件产品，那么次品数X的概率分布如何？（也可这样说：每次取出1件，有放回地取了n次。也可以说每次取出1件，重复地取出了n次。） 从中任意抽出1件产品，是次品的概率是，， 数学期望，方差。 （3）关系是：， 即当N越大，与越接近。 2．（本小题满分12分） 盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球． 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分 ． 现从盒内任取3个球 （I）求取出的3个球中至少有一个红球的概率； （II）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； （III）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望． 解：（I）； （II）记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件，“取出2个红色球， 1个黑色球”为事件，则 ． （III）可能的取值为． ， ， ， ． 的分布列为: 0 1 2 3 的数学期望 ． …13分 3．（本小题满分12分） 由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如下： （I）指出这组数据的众数和中位数； （II）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率； （III）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的数学期望． 解：（I）众数：4.6和4.7；中位数：4.75 …………………………2分 （II）设表示所取3人中有个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件，则 ……………6分 【请问】对不对？为什么？（是无放回，不是有放回） （III）的可能取值为0、1、2、3 …………………7分 ， 分布列为 . （