抛物型方程的差分方法.ppt

或者相应的截断误差阶为。通常，格式可用下图表示。为了提高截断误差的阶，我们也可用在式中保留四阶中心差分项的办法达到，这时有差分格式第23页,共33页，2024年2月25日，星期天m,n+1m-2,nm-1,nm,nm+1,nm+2,nm,n+1m-1,nm,nm+1,n第24页,共33页，2024年2月25日，星期天隐式格式隐式差分格式特点：1.具有二个或二个以上结点处的值未知；2.计算工作量较大；3.稳定性较好。第25页,共33页，2024年2月25日，星期天得由推导其最简单的隐式差分逼近─古典隐式格式。现在对热传导方程第26页,共33页，2024年2月25日，星期天格式用下图表示，其截断误差阶为，与古典显式差分格式相同。或者保留二阶导数项，且以替代，则得差分格式我们也可通过直接用差分算子代替的方法，即代入微分方程，得到此格式。第27页,共33页，2024年2月25日，星期天m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n第28页,共33页，2024年2月25日，星期天图方法第29页,共33页，2024年2月25日，星期天??-4?-3?-2?-1?0?1?2?3?4?0??????????1??????????2??????????3??????????4?????????第30页,共33页，2024年2月25日，星期天第31页,共33页，2024年2月25日，星期天第32页,共33页，2024年2月25日，星期天感谢大家观看第33页,共33页，2024年2月25日，星期天********关于抛物型方程的差分方法其中,为平面上某一区域。众所周知，一维线性抛物型方程的一般形式为第2页,共33页，2024年2月25日，星期天通常考虑的定解问题有：(1)初值问题在区域上求函数，使满足为给定的初始函数。第3页,共33页，2024年2月25日，星期天(2)初边值问题(或称混合问题)在区域上求函数，使满足第4页,共33页，2024年2月25日，星期天为了构造微分方程的有限差分逼近，首先将求解区域用二组平行于轴和轴的直线构成的网格覆盖，网格边长在方向为，在方向为。分别称为空间方向和时间方向的步长，网格线的交点称为网格的结点。差分格式的建立第5页,共33页，2024年2月25日，星期天由Taylor展开，有则在处对的一阶偏导数有三个可能的近似:向后差商向前差商中心差商第6页,共33页，2024年2月25日，星期天显然，用差商近似导数存在误差，令则截断误差第7页,共33页，2024年2月25日，星期天现记前差算子:,后差算子:,中心差算子:,为方向偏导数算子为方向位移算子，为方向平均算子，其中:,第8页,共33页，2024年2月25日，星期天建立差分算子和导数算子之间的关系由得或者同理有第9页,共33页，2024年2月25日，星期天因为故同理因为则第10页,共33页，2024年2月25日，星期天利用这些关系式就可给出偏导数的差分表达式第11页,共33页，2024年2月25日，星期天又由可得二阶偏导数的差分表达式第12页,共33页，2024年2月25日，星期天从以上这些偏导数的差分表达式，我们可以得到偏导数的各种精度的近似表达式。且又由二阶导数的前差表达式，得因此在的前差表达式中取第一项，则有即截断误差阶为