例谈恒成立不等式求解策略〔1).doc

例谈恒成立不等式的求解策略 含参数不等式的恒成立问题是不等式中重要的题型，也是各类考试的热点．这类问题既含参数又含变量，学生往往难以下手，怎样处理这类问题呢？转化是捷径．通过转化能使恒成立问题得到简化，而转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用．下面就其常见类型及解题策略举例说明． 一﹑可化为一次不等式恒成立的问题 例1．对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围． 分析：习惯上把当作自变量，记函数，于是问题转化为： 当时，恒成立，求的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的． 解：设函数，显然，则是的一次函数，要使恒成立，当且仅当，且时，解得的取值范围是． 点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色． 二﹑二次不等式恒成立问题 例2．已知关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 分析：利用二次项系数的正负和判别式求解，若二次项系数含参数时，应对参数分类讨论． 解：(1)当时，即或，显然时，符合条件， 不符合条件; (2) 当时，由二次函数对一切实数恒为正数的充要条件，得 ，解得． 综合(1)(2)得，实数的取值范围为． 三﹑绝对值不等式恒成立问题 例3．对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 分析1：把左边看作的函数关系，就可利用函数最值求解． 解法1：设，则，，． 分析2：利用绝对值的几何意义求解． 解法2：设﹑﹑在数轴上对应点分别是﹑﹑，则 当点在线段上时，; 当点在点的左侧时， ; 当点在点的右侧时， ; 因此，无论点在何处，总有，所以当时， 恒成立， 即对于任意实数，不等式恒成立时，实数的取值范围为． 分析3：利用绝对值不等式求解的最大值． 解法3：设．且时等式成立， ，． 四﹑含对数﹑指数﹑三角函数的不等式恒成立问题 例4．当时，不等式恒成立，求的取值范围． 分析：注意到函数，都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知要使对一切，恒成立，只要在内， 的图象在图象的上方即可．显然，再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题，即． 解：设，，则要使对一切，恒成立，由图象可知，并且，故有， ， 又 点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用．此外，从图象上直观得到后还需考查区间右端点处的函数值的大小． 五、形如“”型不等式 形如“”或“”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“在上恒成立，则();在上恒成立，则()”．许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型． 例5．已知二次函数，若时，恒有，求的取值范围． 解：，， 即 （1）当时，不等式显然成立， （2）当时，由得． ，，． 又，，． ． 综上得，的取值范围为． 六、形如“”型不等式 例6．已知函数，若对任意，都有成立，则的最小值为 ． 解：对任意，不等式恒成立， ，分别是的最小值和最大值． 对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是2，即半个周期． 的最小值为2 七、形如“”型不等式 例7．在，，，这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是( ) (A) (B) (C) (D) 解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数应是凸函数的性质，画草图即知，符合题意，故此题选（C）． 八、形如“”型不等式 例8．已知函数，，若当时，恒成立，求实数的取值范围． 解：在恒成立，即在恒成立 在上的最大值小于或等于零． 令， ， 即在上单调递减， 是最大值． ，即． 九、形如“”型不等式 例9．已知函数，，若对任意，都有，求的范围． 解：∵对任意，都有成立，． ，令得或;得． 在为增函数，在为减函数． ，． 1