福州2011年中考数学试题及答案.ppt

例1 解 是全微分方程, 原方程的通解为 例2 解 是全微分方程, 将左端重新组合 原方程的通解为 二、积分因子法 问题: 如何求方程的积分因子? 定义: 1.公式法: 求解不容易 特殊地: 2.观察法: 凭观察凑微分得到 常见的全微分表达式 可选用的积分因子有 例3 解 则原方程成为 可积组合法 原方程的通解为 (公式法) 例4 求微分方程 解 将方程左端重新组合,有 原方程的通解为 例5 求微分方程 解 将方程左端重新组合,有 可积组合法 原方程的通解为 例6 解1 整理得 A 常数变易法: B 公式法: 解2 整理得 A 用曲线积分法: B 凑微分法: C 不定积分法: 原方程的通解为 解 分离变量法得 所求通解为 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法 注 如：齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程 、Bernoulli 方程等都是通过变量代换来求解方程的。 将 变换为 也是经常可以考虑的 三、小结 1.齐次方程 2.线性非齐次方程 3.伯努利方程 思考题 求微分方程 的通解. 思考题解答 练 习 题 练习题答案 1.定义 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 齐次型方程 一、齐次型方程 例 2 求解微分方程 解 例 1 求解微分方程 解 微分方程的解为 微分方程的解为 例 3 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 由夹角正切公式得 得微分方程 分离变量 积分得 平方化简得 抛物线 解 令 则 代入化简 并分离变量 两边积分 换回原变量 或 例4 二、可化为齐次型的方程 1.定义 为齐次型方程. 否则为非齐次型方程 2.解法 （其中h和k是待定的常数） 有唯一一组解. 得通解代回 未必有解, 上述方法不能用. 可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程. 可分离变量. 解 代入原方程得 方程变为 分离变量法得 得原方程的通解 利用变量代换求微分方程的解 解 代入原方程 原方程的通解为 三、小结 齐次方程 齐次方程的解法 可化为齐次方程的方程 思考题 方程 是否为齐次方程? 思考题解答 方程两边同时对 求导: 原方程是齐次方程. 练 习 题 练习题答案 1.定义: 若有全微分形式 则 全微分方程 或恰当方程 例如 所以是全微分方程. 全微分方程 一、全微分方程及其解法 2.解法: 全微分方程 ?应用曲线积分与路径无关. 通解为 ? 用直接凑全微分的方法. 其中 x0 , y0 是在G中适当选定的点 M0 (x0 , y0 ) 的坐标，起点坐标选择的不同，至多使u( x, y) 相差一个常数 * 一阶方程的一般形式为 本节主要研究能把导数解出来的一阶方程 的解法 这个方程虽然简单，也常常很难求出解的有限表达式 几种特殊类型的一阶微分方程的解法。 所以本节只讨论 特殊类型的一阶方程的求解 一阶方程有时也可以写成如下的对称形式 它既可视为以 x 为自变量以 y 为未知函数的方程 也可以视为以 y 为自变量 以 x 为未知函数的方程 很重要的观点 考虑方程 或写成 两边积分得 但并不是所有的一阶方程都能象上面那样采取两边积分的方法来求它的通解 如 困难就在于方程的右端含有未知函数 积分 求不出来 为了解决这个问题 方程的两边同乘以 使方程变为 这样变量 x , y 已经分离在等式的两端 两边积分得 或 可以验证 是方程的通解 注 y = 0 也是方程的解，但不包含在通解中 称为奇解 一、可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程. 这类方程的特点是 经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和其微分 解法 分离变量法 为微分方程的解. 求解步骤 分离变量 两边积分 得到隐式通解或通积分 二、典型例题 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 解 通解为 解 由题设条件 衰变规律 例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风