湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题.docx
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湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合，则（????）
A． B． C． D．
2．已知，设甲：，乙：，则（????）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
3．设，，，则的大小关系为（????）
A． B． C． D．
4．2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（????）
时间x
1
2
3
4
5
销售量y/万只
5
4.5
4
3.5
2.5
A．由题中数据可知，变量y与x负相关
B．当时，残差为0.2
C．可以预测当时销量约为2.1万只
D．线性回归方程中
5．某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（????）
A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32
6．已知，则（????）
A． B． C． D．
7．函数在区间上的零点个数为（????）
A．无穷多个 B．4个 C．2个 D．0个
8．若正数，满足：，则的最大值为（????）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．已知函数，则（????）
A．为的一个周期
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在区间上单调递减
10．已知向量，则下列命题正确的是（????）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．存在，使得
D．的最大值为
三、单选题
11．设函数，则下列选项正确的是（????）
A．为奇函数
B．当时，的最小值为
C．若函数有四个零点，则实数的取值范围是
D．函数的图象关于点对称
四、填空题
12．已知复数，则当时，复数对应的点在虚轴上.
13．的内角的对边分别为，设，则.
14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．
五、解答题
15．已知，，．
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
16．在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若的面积为边上的高为1，求的周长．
17．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
18．甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.
(1)求P；
(2)当时，求甲得分X的分布列及数学期望；
(3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：.
19．已知函数.
(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1.
（i）记为直线交点的横坐标，求证：；
（ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围.
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参考答案：
1．C
【分析】先解集合中的不等式，解出的范围，再求得即可.
【详解】由，解得，即，
，.
故选：C.
2．B
【分析】先举出反例得到充分性不成立，两边平方后推出必要性成立.
【详解】不妨设，满足，此时，充分性不成立，
，两边平方得，
又，故，必要性成立，
故甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
3．A
【分析】根据指对数的性质，求出、、的大致范围，即可进行比大小.
【详解】，因为，所以，故，
，所以.
故选：A.
4．B
【分析】对于选项A，利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均可求解；对于选项B，利用样本中心点求出线性回归方程，再利用回归方程即可求出预测值，进而可求出残差；对于选项C，利用回归方程即可求出预测值；对于选项D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解.
【详解】对于选项A，从数据看，随的增大而减小，所以变量与负相关，故A正确；
对于选项B，由表中数据知，，
所以样本中心点为，将样本中心点代入中得，
所以线性回归方程为，所以，残差，故B错误；