09-2方程组的简单迭代法.doc
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2013-2014（1）专业课程实践论文
题目：方程组的简单迭代法
算法理论
1.解线性方程组的两种方法：
直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!)
迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。
2.迭代法主要研究的问题：
1）迭代格式的构造；
2）迭代的收敛性分析；
3）收敛速度分析；
4）复杂性分析；（计算工作量）
5）初始值选择。
3.迭代法的原理：
将原线性方程组中系数矩阵的主对角线移到一边并将其系数化为一，然后在给定迭代初值的情况下通过迭代的方法求解线性方程组的值。
迭代法的基本思想：
将线性方程组 （1）
（其中为阶非奇异矩阵，为维向量）
改写成等价形式 （2)
构造简单迭代格式：
， (3)
亦即
， (4) 可算出线性方程组(1)的近似解序列：
我们把用公式（3）进行迭代求解的方法称为简单法，并称式（3）
为简单迭代式，矩阵称为迭代矩阵，称为初始近似解，称为次近似解，称为迭代次数。
二、算法框图
算法程序
#includeiostream
#includemath.h
#includeiomanip
using namespace std;
#define kk 50 //定义最大方程元数
int n,i,c,j,hh,gg,mm;
double A[kk][kk],x[kk][kk],b[kk],y[kk],a[kk],z[kk],m,nn,d,e=1,w,fff ;
int main()
{
cout输入的方程元数endl; //数据的输入
cinn;
cout请输入方程系数矩阵:endl;
for(i=0;in;i++)
for(j=0;jn;j++)
cinA[i][j];
cout请输入右边向量:endl;
for(i=0;in;i++)
cinb[i];
cout输入你想要的迭代精度(建议1e-5以上)！endl;
cinfff;
cout输入最大迭代次数（建议300次以上）！endl;
cinmm;
//计算出迭代矩阵
for(i=0;in;i++)
{
b[i]=b[i]/A[i][i];
for(j=0;jn;j++)
{
if(i==j)
{
x[i][i]=0;
}
else
{
x[i][j]=-A[i][j]/A[i][i];
}
}
}
//输出迭代矩阵
cout计算出迭代矩阵为：endl;
for(i=0;in;i++)
{
for(j=0;jn;j++)
coutx[i][j] ;
coutb[i] ;
coutendl;
}
//赋迭代初值
cout输入迭代初值endl;
for(i=0;in;i++)
ciny[i];
int f=1;
//简单迭代法
cout ;
for(i=1;in+1;i++)
cout\tX[i] \t;
cout精度;
coutendl;
cout迭代初值为： ;
coutsetiosflags(ios::fixed);
for(i=0;in;i++)
couty[i] ;
coutendl;
while(efff)
{
for(i=0;in;i++)
{
z[i]=y[i];
nn=0;
for(j=0;jn;j++)
{
nn=nn+x[i][j]*y[j];
y[i]=nn+b[i];
}
e=fabs(z[0]-y[0]);
if(fabs(z[i]-y[i])e)
e=fabs(z[i]-y[i]);
if(i==0)
{
coutsetiosflags(ios::fixed);
cout第setw(3)setprecision(3)f++次迭代 ;
}
coutsetiosflags(ios::fixed);
coutsetw(8)setprecision(8)y[i] ;
}
coute;
coutendl;
if(fmm)
{
cout迭代次数大于mm次endl;
cout认为方程发散，迭代不收敛endl;
exit(1);
}
}
coutendl;
coutendl;
cout方程迭代了f-1次,达到你所要求的精度fffendl;
cout最后结果为：endl;
coutendl;
for(i=0;in;i++)
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