2025年中考数学复习专题1二次函数存在性问题答案.docx
第1讲答案
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点．
（1）求点、、的坐标；
（2）点在坐标平面内，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边且面积为12的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）对于，
令．则．
，
令．则，
解得：或6，
，；
故点、、的坐标分别为：、、；
（2）存在，理由：
，
，
如图：
设以、、、为顶点组成的平行四边形的面积为，
则，
，
当时
；
当时
；
故点的坐标为或．
2．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线上位于直线上方的动点，分别过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的平行线交直线于点，以、为边作矩形，求矩形周长的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？不存在，则说明理由；若存在，请求出点的坐标．
【解答】解：（1）把代入得：，
解得：．
这个抛物线的解析式为：；
（2）抛物线的解析式为：，
，对称轴为，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
轴，
，则，
由题意得，当点在对称轴右侧时，矩形的周长最大，
矩形的周长
，
当时，矩形周长的最大值56，
此时点的坐标为；
（3）存在，点的坐标为或或．理由如下：
设，，
分三种情况：
①当为对角线时，如图1，
，，
，解得，
，
点的坐标为；
②当为平行四边形的边，为对角线时，
，，
，
解得：
，
点的坐标为；
③当为平行四边形的边，为对角线时，
，解得，
，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
?
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
故点P作y轴的平行线交CB于点H，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB＝（﹣x2+2x+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤，
即△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）存在，理由：
∵B（3，0），C（0，3），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为：x＝1，
设点M（1，t），N（x，y），
若BC为菱形的边长，菱形BCMN，
则BC2＝CM2，即18＝12+（t﹣3）2，
解得：t1＝+3，t2＝﹣+3，
，
∴x＝4，y＝t﹣3，
∴N1（4，），N2（4，﹣）；
若BC为菱形的边长，菱形BCNM，
则BC2＝BM2，即18＝（3﹣1）2+t2，
解得：t3＝，t4＝﹣，
，
∴x＝﹣2，y＝3+t，
∴N3（﹣2，），N4（﹣2，﹣）；
即点N的坐标为：（4，﹣）或（4，）或（﹣2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
4．如图，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，直线是抛物线的对称轴，直线与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点在直线上，且，点，是抛物线上的动点，点在点的左侧，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把点，代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）将抛物线化为顶点式为：，
点在直线上，
垂直于轴，
以点、、、为顶点的四边形是菱形，
①当为边时，要使，即轴，
点、是抛物线上的动点，点在点的左侧，
此时不存在、使得以点、、、顶点的四边形是菱形，
②当为对角线时，
．点在轴上方时，过的中点作轴的平行线，与抛物线的交点分别是、．
，
，即，
，解得，，
，，
ⅱ．点在轴下方时，过的中点作轴的平行线，与抛物
线的交点分别是、，
，
，
解得，，
，，
综上，存在点、使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，点、的坐标分别是、或、．
5．平面直角坐标系中，已知抛物线过、两点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将该抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点是抛物线与原抛物线的对称轴的交点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，请求出符合条件的点的坐标