h习题课空间解析.pptx
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本章以矢量代数为工具，运用形数结合的方法，研究空间的曲面
和曲线，同时重点研究了平面和直线。
一 基本要求：
1. 正确理解矢量概念，熟练掌握矢量的坐标表示式、其代数运算
及两个矢量相互平行、垂直的条件或其夹角的求法。
2. 平面方程四形式
3. 直线方程四形式
4. 点、直线、平面间的位置关系
5. 平面与平面的位置关系
6. 直线与直线的位置关系
7. 掌握空间曲线及曲面知识；会建立旋转曲面方程及空间曲线在
坐标面上的投影方程。
二 课堂练习: 1. 填空 2. 建立平面或直线方程
第七部分 矢量代数与空间解析几何
矢量
坐标表示
既有大小又有方向的量
模及方向角
方向余弦
一 基本要求 1. 矢量运算及坐标表示
n={A,B,C}
M(a,b,d)
A(x – a)+B(y – b)+C(z–d)=0
Ax+By+Cz+D=0
b
c
a
(1) 点法式:
(2) 一般式
.
(3) 截距式：
(4) 三点式：
0
其中 D= –Aa – Bb – Cd
2. 平面方程
(1)标准式：
S={m,n,p}
M(a.,b,c)
L
S
(2) 参数式 :
x = a+m t
y = b+n t
z = c+p t
(4) 两点式:
A
B
.
(3) 一般式
L
.
L
3. 直线方程
(1) 点到平面的距离
(3) 直线平行于平面
.
(2) 点到直线的距离
M
d
N
l
M
d
l
N
.
记
.
4. 点、直线、平面的位置关系
（用解析法判断）
n
s
s
(4) 直线在平面内
(5) 直线垂直于平面
(6) 直线与平面的夹角
l
l
l
.
.
.
.
N
4. 点、直线、平面的位置关系
（用解析法判断）
.
s
s
s
n
n
n
(1) 两个平面垂直
(2) 两个平面平行
(3) 两个平面重合
已知两个平面
.
.
5. 平面与平面的位置关系
(4) 两个平面夹角为
(5) 两个平行平面间的距离为d
已知两个平面
d
.
5. 平面与平面的位置关系
.
1
2
n1
n2
.
.
已知两条直线
(1) 两条直线共面
(2) 两条直线的夹角
(3) 两条平行直线的距离d
A
B
d
A
B
.
6. 直线与直线的位置关系
.
.
1, 2, 3
垂直
.
.
.
.
.
.
.
.
二 课堂练习：1. 填空
3
.
y + z = 1
.
解：
.
M
解：
l
N(2, –3,1)
d
.
.
.
.
.
.
.
椭球面
双叶双曲面
二次锥面
单叶双曲面
双曲抛物面
椭圆抛物面
相交
.
.
.
球面
圆柱面(母线平行于z轴)
两平行平面
两相交平面
原点
z轴
yOz平面
三个坐标面
(16) 指出下列方程表示哪种曲面？
.
平面(平行于x轴)
虚轨迹
虚轨迹
两平行平面
椭圆柱面
双曲柱面
抛物柱面
.
平面
直线
z轴
一点
双曲线
抛物线
两相交直线
(17) 指出下列方程表示哪种图形？
.
2. 建立直线或平面方程.
谢 谢 使 用
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.
L1
解：
2. 解答：
M0
1o 过 M0作 L1 的垂面，
M0
M
垂面方程为
2o 求出 L1与此平面的交点M：
.
.
L
= t
解：
L1
2. 解答：
1o 过 M0作 L1 的垂面，
d
L1
L2
方法 I 思路：
1o 过L1做平面 ，使 // L2.
2o 点M L2,,点M 到平面 的距
离即为d.
M
(2)
解：
.
.
先求平面 的法矢量：
取点M(2,3,–4) L2,,
.
n
方法 II 思路：
.
解：
L1
L2
M
N
利用混合积的几何意义：
所求的 d 就是三矢量构成的
平行六面体的高.
.
.
.
(2)
(3)
思路I：
因为：(1) 它们共面.
(2) 它们不平行.
( L2平行于已知平面 ，但显然 L 1 不平行
于 . )
相交。
问题：L2与 L1 相交吗？
求直线的一般式方程.
2
1
L1
L2
.
M0
具体解答如下：
n
M1
L1
L2
M0
M1
解：
.
思路I：
求直线的一般式方程.
s
n
2
1
(3)
.
思路II：
求直线的标准式方程.
L1
从思路 I 的分析知：
.
.
L2
如图：
.
n
2
1
解：
(3)
.
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