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科目：数学 年级：初二 教师：张立平 第一学期第一周 第一章 勾股定理 （1.1） 一、主要知识介绍 本章学习的主要内容是勾股定理及其逆定理，勾股定理及其逆定理反映了互逆关系，勾股定理是直角三角形的一条重要性质，勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据. 勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系.它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用.通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解. 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的.其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多.如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年.其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）.所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的. 勾股定理: 如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方. 二、本周学习目标 1. 经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合思想.　 2. 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题. 　 3. 学会判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些相关的实际问题. 　4. 通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值. 三、重难点分析 重点：对勾股定理的理解和实际应用，以及运用勾股定理逆定理去解决一些相关的实际问题.　 难点：在勾股定理的探索和验证过程中，进一步体会数形结合的思想. 在运用勾股定理计算三角形的边长时，一要注意勾股定理的适用条件是在直角三角形中；二要注意表达式的灵活变形，即两条直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长. 四、典型例题与分析 【例1】如图所示，下面提供给我们的是一种用硬纸板作成的直角三角形，直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，请你开动脑筋，利用这种直角三角形拼成一个能用来验证勾股定理的图形，并写出验证过程．　　　　　　　方法一： 如图1所示，拼成的正方形ＡＢＣＤ内嵌正方形ＥＦＧＨ，能说 明a２＋b２＝c２．　　　　　　　【分析】 如图1所示，整体正方形的面积等于各部分面积之和． Ｓ△ＥＡＦ＝Ｓ△ＨＢＥ＝Ｓ△ＧＣＨ＝Ｓ△ＦＤＧ＝ab， Ｓ正方形ＥＦＧＨ＝c２，　　 Ｓ正方形ＡＢＣＤ＝（a＋b）２．　 利用面积公式可得 ab×４＋c２＝（a＋b）２，　　 化简可得：a２＋b２＝c２．　　方法二：拼成图形如图２所示，能说明a２＋b２＝c２．　　【分析】 如图2所示，整体正方形的面积等于四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和． 利用面积公式可得（b－a）２＋ab×４＝c２，　　化简可得： a２＋b２＝c２．　　【点拨】 上述两种勾股定理的证明方法巧妙地利用了数形结合的思想，构造出图形后根据图形所反映出来的数量关系来证明勾股定理．　　 【例2】 （荆门） 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面 ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连结CC′，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC′D′ 的面积证明勾股定理： a2＋b2＝c2.　　　　　　　 【分析】 我们观察图形会发现易证△ABC≌△AB′C′，得∠CAC′=90°，于是梯形BCC′D′的面积既等于（C′D′＋BC）·BD′，又等于S△ABC＋S△CAC ′+S△D′AC′，于是定理得证.　　【证明】 由题意可知四边形BCC′D′为直角梯形，　　　　又因为Rt△ABC≌Rt△AB′C′，　　所以∠BAC=∠C′AB′. 　　所以∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′?????????　　????? ＝∠CAB′＋∠BAC=90°.　　所以 S梯形BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′+S△D′AC′　　 　　所以a2＋b2＝c2. 【例3】在△ABC中，AB=15，AC=20，AD是BC边上的高，AD=12，试求出BC边的长.　　【解析】 此题没有给出图示，又由于三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形外部，所以其高的位置应分两种情况来求.如下图所示，△