博弈论之随机策略.pdf

第七讲 随机策略 本章涉及到了 Monty Hall 悖论、Monte Carlo 谬误(以及 Martingale) 。这是两 个非常好玩的思维游戏，认真地探讨这两个资料，会让我们对博弈树和概率论有 很好的掌握。 当然，本章有点偏离博弈论，因为我们化了很长的时间来讨论概率论的基本 概念，不过，我们的故事讲得不错，值得同学们看一看。 第一节 Monty Hall 悖论 6.1 Monty Hall 悖论的前生后世 从现在开始，我们的博弈论，是越来越有意思了，因为它越来越接近于博弈 论的外在表现，越来越像是我们日常语言中的“博弈”：“谁知道结果呢？博弈啊， 就博弈呗！”这种无奈的语气，表现了博弈的“随意性”、随机性。也就是说，日 常生活中的“博弈”，表现出了强烈的“随机策略”倾向。 所以，我们就先来看看 Monty Hall 悖论。 历史 7.1(Wiki: Monty Hall 悖论) 曾经有个美国电视节目，叫Lets Make a Deal ，它的第一任主持人名叫Monty Hall 。 这个悖论就取自他的名字。这个“悖论”， 真的是一个悖论啊：因为计算的结果很难让人相信，但是，却可以证明 它是绝对地准确无误的。一般的解释是：这个Monty Hall 悖论，在数学 上，就是一个“三人博弈”问题，它与更早的 Bertrand’s Box Paradox 很 像很像。 现在，我们就假设您参加了这个“博弈秀”吧！在您面前放在三扇 门，在某一扇门的背后，放着一辆小汽车；而在其他两扇门的背后，放 1 的是山羊。您选定一扇门，譬如说No.1 ，但是这扇门是不打开的。接着， 那个坏心眼的、知道门背后是什么东西的主持人，就打开另一扇没有汽 车的门。譬如No.3 。这时，您看到一头山羊。接着，他贼不兮兮地问您： “您想换门吗？您想换成No.2 吗？” 问题来了：改变选择，会对您更有利吗？ 如果我们不仔细地想，就像觉得数学家们真的是很傻很天真。这有什么好说 的吗？一开始的时候，得到一辆车的概率就是三分之一；现在“去掉了一扇门”， 就只有两扇没有开的门了。小汽车或者在 No.1 里，或者在 No.2 里，这时，换或 者不换，有什么关系呢？不都是二分之一的概率吗？ 但是，数学家之所以是数学家，是因为他们有精密的思维，有更规范的思想 路线，是因为他们不那么从众，不那么“随意为之”，他们给出了不同的答案： 答案 7.2 （Monty Hall 悖论的答案） 全球智商最高的女人 Marilyn Vos Savant ，给 出的答案是：局中人应该“总是改变选择”。一 开始的时候，我们可以看到，每一扇门背后有一 辆车的概率是三分之一；如果您不换，那么，您 的概率还是三分之一。但是，一旦主持人去掉了 一扇门，那么，您改变了选择，您的概率就变成了三分之二。 争论由此产生！人们不服气！好多人认为她犯了错误！这是多么让人开心的 事啊！如果 Marilyn 也犯了错，不就证明“智商”仅是一个数字了吗？ 于是差不多有一万名读者给她写信，其中，还有一千名“傻博士”，写信给 她，郑重地宣称：“妹妹你错了！” 虽然后来给出了解释，给出了模拟，甚至给出了规范的证明，还是有很多人 拒绝相信：“换门，是最好的策略！” 那么，我们博弈理论家，是怎么用博弈