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Contents 一、单叶双曲面的概念 二、单叶双曲面的性质 Contents 一、双叶双曲面的概念 二、双叶曲面的性质 * §5 双曲面 hyperboloid  《解析几何》 －Chapter 4 Ⅰ 单叶双曲面 二、单叶双曲面的性质 三、单叶双曲面的图形 Hyperboloid of one sheet 一、单叶双曲面的概念 b y z o 　此时的单叶双曲面是双曲线 当 时, 方程 绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的. 变为 b y z o x . 单叶旋转双曲面 Back 单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形. 　此时的单叶双曲面是双曲线 当 时, 方程 绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的. 变为 1 对称性 2 顶点 关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称，（0，0，0）为其对称中心. 方程（4.5-1）表示的图形是无界曲面. 与 z 轴无交点； 与 x 轴与 y 轴相交， Back 3 范围 三、单叶双曲面的图形(平行截割法) y x z O (2) 用y = 0 截曲面 (3) 用x = 0 截曲面 (1) 用z = 0 截曲面 ⅰ） 用坐标面截割 (1)用z = h 截曲面 结论：单叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy 面平行，且两对顶点分别在两定双曲线上滑动. ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割 y x z O y = h y x z O (2)用y = h 截曲面 ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割 ①当 时 截线为双曲线 (2)用y = h 截曲面 ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割 ①当 时 截线为双曲线 y = h y x z o ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割 (2)用y = h 截曲面 ②当 时 截线为双曲线 ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割 (2)用y = h 截曲面 ②当 时 截线为双曲线 y = h y x z o ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割 (2)用y = h 截曲面 ③当 时 截线为直线 ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割 (2)用y = h 截曲面 ③当 时 (0 , b , 0) 截线为直线 ②当 时 ①当 时 ③当 时 单叶双曲面： 用y = h 截曲面 分析： 这一族的椭圆方程为 即 , 从而椭圆焦点坐标为 消去参数 h 得 Ⅱ双叶双曲面 二、双叶双曲面的性质 三、双叶双曲面的图形 Hyperboloid of two sheets 一、双叶双曲面的概念 z O y 例3 （2） 将双曲线 绕实轴 （即 z 轴）旋转 c 当取 时, 双叶双曲面 y O x z . 双叶旋转双曲面 b Back 例3 （2） 将双曲线 绕实轴 （即 z 轴）旋转 1 对称性 2 轴、顶点 关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称，（0，0，0）为其对称中心. 与 z 轴相交， 与 x 轴、 y 轴无交点； Back 3 范围 ②用y = 0 截曲面 ③用x = 0 截曲面 ①用z = 0 截曲面 ⅰ） 用坐标面截割 三、双叶双曲面的图形 无交点 x y z o ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割 （1）用 截曲面 ①当 时, ②当 时, 交点坐标 截线为椭圆 （1）用 截曲面 ②当 时, 结论：双叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy 面平行，且两轴的端点分别在两定双曲线上滑动. y x z o * * 方程（4.5-1）叫做单叶双曲面的标准方程，其中是任意的正常数. 定义4.5.1 在直角坐标系下，由方程 （4.5-1） 所表示的曲面叫做单叶双曲面， 交点称为顶点. 例 用一组平行平面（为任意实数）截割单叶双曲面得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹. 注：在直角坐标系下，方程 与 所表示的图形也是单叶双曲面. 方程（4.5-2）叫做双叶双曲