双曲面.doc
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3．单叶双曲回转面
由一直母线绕一条与它交叉的直导线回转而形成的曲面。如一直母线AB绕与其交叉的直导线OO为轴回转，则形成了单叶双曲回转面。其投影如图9-15所示。
4．双曲抛物面
由一直母线沿两条交叉的两直导线运动，运动中所有素线始终平行某一导平面而形成的曲面，如图9-16所示。交叉两直线AB和CD为导线，P为导平面，AC为直母线，它与导平面P平行，CP为铅垂面。当直母线AC运动到A1 C1 位置时，仍保持与交叉两直线相交，且与导平面P平行，这样连续运动所形成的曲面即为一双曲抛物面。该曲面用水平面截切得截交线为双曲线，如果正平面或侧平面截切得截交线为抛物线，故因此得名双曲抛物面。
图9-14锥状面
图 9-15单叶双曲回转面的投影
曲纹面
以任意的平面曲线为母线绕回转轴旋转而形成的曲面称为曲纹面。常见曲纹面有回转椭球面、回转抛物面等。
1．回转椭球面
回转椭球面是椭圆绕其自身的长轴或短轴旋转而形成的曲面。图 9-17所示的回转椭球面的投影，是绕长轴旋转形成的，正面投影是椭圆本身大小，而水平投影是以短轴为直径的圆。
2．回转抛物面
回转抛物面是抛物线绕其对称轴旋转而形成的曲面。回转抛物面的正面投影就是抛物线本身，而水平投影是圆，如图 9-18所示。
图 9-16 双曲抛物面
?????????
图 9-17回转椭圆面??? 图9-18回转抛物面
4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线
1、? 求下列直纹面的直母线族方程：
（1）???????????????? （2）
解：（1）从原方程得：
即：
亦即：
为了避免取极限，将上方程写成：
??????????????????????????????????? （1）
若将原方程变形为：，则可得到： ?????????????????（2）
若令，，则（2）便是（1）
原曲面的直母线族是（1），其中不全为零。
（2）原方程变形为：
亦即：
????????????????????????????????????????????? （1）
由???????????????? 得：?????? ?????????????????????????????????????（2）
（1）（2）即这原曲面的两组直母线族方程。
2、? 求下列直线族所成的曲面（式中的为参数）
（1）；?????????????? （2）
解：（1）原方程等价于
从此式中消去，得：
此即为直母线（1）所形成的曲面。
（2）从原方程中消去得：此即为（2）的直母线族所形成的曲面。
3、在双曲抛物面上，求平行于平面的直母线。
解：双曲抛物面的两族直母线为：
???????? 及?????????
第一族直母线的方向矢量为：
第二族直母线的方向矢量为：
据题意，要求的直母线应满足：
要求的直母线方程为：
???????? 及?????????
4、试证单叶双曲面的任意一条直母线在面上的射影，一定是其腰圆的比线。
证明：单叶双曲面的腰圆为
两直母线为：
它在面内的射影为 ：???????? ???????????????????????（2）
将（2）的第一式代入（1）的第一式得：
即：
上述方程的判别式为：
? （2）与（1）相比，证毕。
5、求与两直线与相交，而且与平面平行的直线的轨迹。
解：设动直线与二已知直线分别交于，则
，
又动直线与平面平行，所以，
?
对动直线上任一点，有：
从（1）——（4）消去，得到：
?6、求与下列三条直线
， ??与都共面的直线所构成的曲面。
解：动直线不可能同时平行于直线及直线
不妨设其与第一条直线交于
注与第二条直线的平面为：
过与直线的平面为
动直线的方程为：
从上式中消去参数，得：
此为所要求的轨迹方程。
7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。
证明：单叶双曲面的一族直母线为：
过该族中一条直母线的平面为：?
即：???????????????????????? （1）
另一族直母线为：
过该族中一条直母线的平面为：
即?????????????????????????? （2）
对照（1）、（2）得，只要令，得（2）便是（1）了
亦即过族每一直母线的任一平面都经过族中的一条直母线，
同理，对族的直母线也有类似性质。
对双曲抛物面：
其族直母线为：
????????????????????????????????? （*）
取其中的一条（即取定），显然平面通过直母线（*），但该平面不通过族直母线中的任何一条，这是因为：
族直母线
的方向矢量为
而?
平面不能通过族中的任何直母线。
8、试求单叶双曲面
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