三四五章习题解答课件.ppt

第三章习题解答 思考题 1. （a）仅当稀疏矩阵时病态或者奇异的时候，不选主元的Gauss消去法才会失败。× （b）系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的。 × （c）两个对称矩阵的乘积仍然是对称的。 × （d）如果一个矩阵的行列式值很小，则它很接近奇异。 × （e）两个上三角矩阵的乘积仍然是上三角矩阵。√ （f）一个非奇异上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵。√ （g）一个奇异的矩阵不可能有LU分解。 × （h）奇异矩阵的范数一定为零。 × （i）范数为零的矩阵一定是零矩阵。√ （j）一个非奇异的对称矩阵，如果不是正定的则不能有Cholesky分解。√;2.全主元Gauss消去法与列主元Gauss消去法的基本区别是什么？它们各有什么优点？ 解答： 区别：主元的选取方式不同，全主元消去法每步选取绝对值最大的元素作为主元素，列主元消去法每步选取一列中最大的元素作为主元素。 优势：全主元算法复杂，稳定性好；列主元算法简单，稳定性差。;4.满足下面的哪个条件，可以判定矩阵接近奇异？ （a）矩阵的行列式小； （d）矩阵的条件数小 （b）矩阵的范数小； （e）矩阵的条件数大 （c）矩阵的范数大； （f）矩阵的元素小 解答： （e）矩阵的条件数大 矩阵奇异的本质原因是有0特征值，当矩阵的某个特征值的模远小于其他特征值的模，那么这个矩阵就接近奇异。 矩阵的条件数定义为 当我们选取 因此，矩阵的条件数越大矩阵越接近奇异。;8.Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法相比 （a）它们的基本差别是什么 （c）哪种方法更节省存储空间 （b）哪种方法更适合并行运算 （d）Jacobi方法是否总是更快 解答： （a）迭代过程新值使用问题。 （b）Jacobi （c）Gauss-Seidel （d）否;习题 4.考虑矩阵 ，试求A的Cholesky分解。 解答： 方法1： Matlab运行 R=chol（A） R = 1.4142 -0.7071 0 0 0 1.2247 -0.8165 0 0 0 1.1547 -0.8660 0 0 0 1.1180 方法2： 利用Cholesky定义求解;6.矩阵 证明：求解以 为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代是收敛的，而Gauss-Seidel方法是发散的；求解以 为系数矩阵线性方程组的Gauss-Seidel迭代收敛，而Jacobi方法是发散的。 解答： ：Jacobi迭代 Gauss-Seidel迭代 ; 矩阵：Jacobi迭代 Gauss-seidel迭代;7.矩阵 （a）参数a取什么值时，矩阵时正定的。 （b）a取什么值时，求解以A为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代是收敛的。 解答： （a）A的各阶顺序主子式大于零，则A为正定矩阵 （b）根据迭代收敛条件 ;实验题 4.考虑方程组Hx=b，其中系数矩阵为Hilbert矩阵， 适当选择问题的维数，并通过首先给定解再定出右端的办法确定问题。用Gauss消去法（即LU分解）求解方程组，其结果如何？计算结果说明了什么？ 解答： A=hilb(3); %产生三阶Hilbert矩阵 x=[1 2 3]; %假设解向量为x b=A*x; %确定等式右端 [L U P]=lu(A); %矩阵lu分解 x_lu=U\L\(P*b); %根据lu分解求解x 结果： x_lu =[4.3556 -1.1620 -1.0264 ]’ 说明Hilbert矩阵为病态矩阵 ;第四章 思考题 1. （a）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange插值多项式，节点数目越多，得到的插值多项式越接近被逼近函数。×