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范德蒙行列式的相关应用 （一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用 范德蒙行列式的标准规范形式是： 根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。常见的化法有以下几种： 1.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式。 例1 计算 解 中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，但不是从0变到。而是由1递升至。如提取各行的公因数，则方幂次数便从0变到. 例2 计算 解 本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第列依次与上行交换直至第1行，第行依次与上行交换直至第2行第2行依次与上行交换直至第行，于是共经过 次行的交换得到阶范德蒙行列式： 若的第行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且中含有由个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将的第行（列）乘以-1加到第行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式： 例3 计算 解 将的第一行乘以-1加到第二行得： 再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得： 例4 计算 （1） 解 先加边，那么 再把第1行拆成两项之和， 2.加行加列法 各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用此方法： 例5 计算 解 作阶行列式： = 由所作行列式可知的系数为，而由上式可知的系数为： 通过比较系数得： 3.拉普拉斯展开法 运用公式=来计算行列式的值： 例6 计算 解 取第1，3，2行，第1，3，列展开得： = 4.乘积变换法 例7 设，计算行列式 解 例8 计算行列式 解 在此行列式中，每一个元素都可以利用二项式定理展开，从而变成乘积的和。根据行列式的乘法规则，，其中 对进行例2中的行的变换，就得到范德蒙行列式，于是 = = 5.升阶法 例9 计算行列式 解 将升阶为下面的阶行列式 即插入一行与一列，使是关于的阶范德蒙行列式，此处是变数，于是故是一个关于的次多项式，它可以写成 另一方面，将按其第行展开，即得 比较中关于的系数，即得 (二) 范德蒙行列式在多项式理论中的应用 例1 设若至少有个不同的根，则。 证明 取为的个不同的根，则有齐次线形方程组 (2) 其中看作未知量 因为方程组（2）的系数行列式是Vander monde行列式，且 所以方程组（2）只有零解，从而有即是零多项式。 例2 设是数域F中互不相同的数，是数域F中任一 组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F上次数小于n的多项式 ，使=， 证明 设由条件，知 （3） 因为互不相同，所以方程组（3）的系数行列式 则方程组（3）有唯一解，即唯一的次数小于的多项式 使得， 例3设多项式， ，则不可能有非零且重数大于的根。 证明 反设是的重数大于的根，则=0， 进而即 （4） 把（4）看成关于为未知量的齐次线形方程组则（4）的系数行列式 = 所以方程组（4）只有零解，从而，所以必有 这与矛盾，故没有非零且重数大于的根。 附件：(外文资料原文) New proof of the Vander monde determinant and some applications (A): a new method of proof: mathematical induction We on the n for that the inductive method. （1）When ， When the result is right. （2）The Vander monde determinant conclusion assumptions for the class, now look at the level of.in ，Subtracting the rows times, the first rows by subtracting times, that is, a bottom-up sequentially subtracted from each row on row timeshare 有 The latter determinant is a Van Dear Mind determinant, according to the induction