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第二十一章 二次根式 专题1 二次根式的最值问题 【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解. 例1 当x取何值时，的值最小？最小值是多少？ 分析 由二次根式的非负性可知的最小值为0，因为3是常数，的最小值为3. ∴， ∴当9x+1=0，即时，有最小值，最小值为3. 【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即≥0（a0）. 专题2 二次根式的化简及混合运算 这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论. 例2 下列计算正确的是 （ ） 分析 根据具体选项，应先进行化简，再计算. A选项中， B选若可化为，C选项逆用平方公式可求得，而D选项应将分子、分母都乘，得.故选A. 的结果是 （ ） 分析 本题可逆用公式（ab）m=ambm故选D. 例4 书知. 分析 本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义. 【解题策略】 本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义. 例 【解题策略】 本题应根据条件直接进行化简，主要应用性质 例6 已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8所示，化简 解：由ab，c在数轴上的位置可知： 【解题策略】 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简. 专题2 二次根式的化简及混合运算 规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”. 例8 已知 分析 这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a，b的符号，本题中没明确告诉，a，b的符号，但可从a+b=-3，ab=12中分析得到. 【解题策略】 本题最容易出现的错误就是不考虑a，b的符号，把所求的式子化简，直接代入. 专题 利用二次根式例9×+的运算结果应在 （ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 分析 本题应计算出所给算式的结果，原式，由于，即. 故选C. 已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的值. 解：∵9＜13＜16， ∴＜＜，即3＜＜4 ∴的整数部分为3，即m=3， 的小数部分为 ∴ 二、规律方法专题 专题4 配方法 【专题解读】 把被开方数配方，进而应用化简. 例11 化简 规律·方法 一般地，对于型的根式，可采用观察法进行配方，即找出x，，于是 ，从而使得到化简. 例12 若ab为实数，且，试求的值. 分析 本题中根据b=可以求出a，b 的被开方数进行配方、化简. 解：由二次根式的性质得 当 【解题策略】 对于形如形式的代数式都要变为或的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意 专题5 换元法 【专题解读】 通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题. 例13 计算 解：令x=，两边同时平方得： ∴x2=（）（）+2×=10 专题6 代入法 【专题解读】 通过代入求代数式的值. 例1 已知 专题7 约分法 【专题解读】 通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简. 例1 化简 例16 化简 三、思想方法专题 专题8 类比思想 【专题解读】 类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式. 例17 计算. 解：（1）=3. （2）原式=3-+2+2=2+4. 专题9 转化思想 【专题解读】 当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决. 例18 函数y=中，自变量x的取值范围是 . 分析 本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，本题中是二次根式，所以被开方数2x-40,所以x2.故填x2. 例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为，则输出的