《2016届高三数学第二轮复习(数列综合)》.doc

数列综合 ★★★高考要考什么 本主要涉及等差数列的定义、通项公式、前n项和及其性质 高考对本考查比较全面每年都不遗漏 间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论． 高考中常常把数列、极限与函数、不等式、解析几何等相关内容在 一起，加以导数和向量等新增内容，使数列题【范例】，满足，，且（） （I）令，求数列的通项公式； （II）求数列的通项公式及前项和公式． 解：（Ｉ）由题设得，即（） 易知是首项为，公差为２的等差数列，通项公式为． （II）解：由题设得，令，则． 易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为． 由解得 ， 求和得． 【变式】（理）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。 （Ⅰ）、求数列的通项公式； （Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m； 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝， 故Tn＝＝＝（1－）. 因此，要使（1－）（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10. 【范例】，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……） （1）求的值； （2）证明：对任意的正整数n，都有a； （3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。 解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，∴； （2）， =，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……）， （3），而，即， ，同理，，又 【变式】对任意函数f（x），x∈D，可按图示3—2构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1＝f（x0）； ②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f（x1），并依此规律继续下去． 现定义f（x）=． （Ⅰ）若输入x0＝，则由数列发生器产生数列｛xn｝．请写出数列｛xn｝的所有项； （Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值； （Ⅲ）（理）若输入x0时，产生的无穷数列｛xn｝满足：对任意正整数n,均有xn＜xn＋1，求x0的取值范围． 解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域D＝（－∞－1）∪（－1，＋∞） ∴数列｛xn｝只有三项x1＝，x2＝，x3＝－1 （Ⅱ）∵f（x）＝＝x即x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2 即x0＝1或2时，xn＋1＝＝xn，故当x0＝1时，x0＝1；当x0＝2时，xn＝2（n∈N） （Ⅲ）解不等式x＜，得x＜－1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x2＜－1或1＜x1＜2 对于函数f（x）＝。若x1＜－1，则x2＝f（x1）＞4，x3＝f（x2）＜x2 当1＜x1＜2时，x2＝f（x）＞x1且1＜x2＜2依次类推可得数列｛xn｝的所有项均满足xn＋1＞xn（n∈N） 综上所述，x1∈（1，2），由x1＝f（x0），得x0∈（1，2） 【范例】（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…． （I）证明：数列（）是常数数列； （II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列； （III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增 解：（I）当时，由已知得． 因为，所以． …… ① 于是． ……② 由②－①得． …… ③ 于是． …… ④ 由④－③得， …… ⑤ 所以，即数列是常数数列． （II）由①有，所以．由③有，，所以，．而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列， 所以，，， 数列是单调递增数列且对任意的成立． 且 ． 即所求的取值集合是． （III）解法一：弦的斜率为 任取，设函数，则 记，则， 当时，，在上为增函数， 当时，，在上为减函数， 所以时，，从而，所以在和上都是增函数． 由（II）知，时，数列单调递增， 取，因为，所以． 取，因为，所以． 所以，即弦的斜率随单调递增． 解法二：设函数，