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海文考研数学四模考试卷 参考解答 一、填空题 （1）应填： 【分析】 因函数上连续，取定，作为到的变限定积分就是函数的一个原函数，从而函数的不定积分为，其中是一个任意常数. 为计算方便起见，在本题中应取为函数的分段点，即应设=0.于是的一个原函数是 而的不定积分是 其中是一个任意常数. 【注意】的不定积分不能写成 这是因为所得函数在分段点处不连续，从而，在点处不可导. 的不定积分也不能写成 这是因为所得函数中包含了两个任意常数和.不过，如果取和的值使上述函数在点连续，即取+1=，这个函数就变成为的不定积分了，即 （2）应填： 【分析】 在一阶线性微分方程中，直接利用通解公式可得方程的通解为 利用分部积分公式可得 于是方程的通解为 代入初始条件可确定常数，帮所求特解为 【注意】 函数称为一阶线性微分方程的积分因子，用它同乘方程的两端，可把方程改写成 只需将两端积分一次就不难得出方程的通解.本题方程的积分因子是函数， （3）应填： 【分析】 ， y 8 则积分区域 -6 x 由此可作出积分区域的图形如图.不难发现，积分区域又可表示为，其中 从而， 【注意】 在直角坐标系中的二重积分的积分区域D有两种不等式表示法： 一种是 ， 其中a是区域D中最左点的横坐标，b是区域D中最右点的横坐标，是区域D的下边界的方程，是区域D的上边界的方程，这时称积分区域D为X一型区域，D上的二重积分可化为先对后对积分的累次积分： 另一种是 其中c是区域D中最低点的纵坐标，d是区域D中最高点的纵坐标，区域D的左边界的方程，是区域D的右边界的方程，这时称积分区域D为Y一型区域，D上的二重积分可分化为先对后对积分的累次积分： 因此，在直角坐标系中交换累次积分的积分次序的关键是：从题设的累次积分得出积分区域相应的不等式表示，并由此写出积分区域的另一种不等式表示，画出积分区域的简图对写出积分区域的另一种不等式表示常常很有用处。 （4）应填：—5 【分析】A是正交矩阵 由于 = 而 因此， 【评注】本题考查矩阵的运算，正交矩阵的概念等，注意区别与，前者是一个数，后者是3阶矩阵。 （5）应填： 【分析】由于矩阵A各行元素之和均为o，即 即，所以是齐次方程组的解，又因AB=0，知矩阵B的列向量也是的解。 从而齐次方程组至少有2个线性无关的解，那么，于是秩，由矩阵A非零又有秩，因此秩。故所以的通解是。 （6）应填： 【分析】由于相互独立，且 依题意 其中 = 所以 ， 二、选择题 （7）应选（B） 【分析】令 利用当□时的等价无穷小关系□）～□以及洛必达法则计算极限J，得 ==1 故 【注意】 一般说来，对于型未定式，利用等价无穷小代换化为求极限，常常可用简化计算。 （8）应选：（C） 【分析】因分段函数在（）上可导，从而在点与处可导，又因函数在某点处可导必在该点处连续，于是在点与处连续，即 由此可见结论（A）与（D）都不正确，又因 ， 以及在点处可导，得。同理，因 ， 以及在点处可导，得。同理，因 ， 以及在点处可导，得 【注意】若要求一个分段函数在其分段点处可导，首先必须要求该函数在其分段点处连续，在连续的前提下再进一步讨论该函数在其分段点处的左导数与右导数是否同时存在且相等。 分段函数在其分段点处可导的几何意义是函数的图像在处存在切线，也就是说，曲线在点处左切线与右切线应连接成一条直线，本题也可按照这样的思路来解决。 由知曲线在（0，0）处的切线方程为，这表明曲线在（0，0）处的切线必须与直线重合，即得。同理，由知曲线在（1，0）处的切线方程为，这表明曲线在点（1，0）处的切线必须与直线重合，即得把两者结合起来，即得 （9）应选：（A） 【分析】联合应用换元积分方法与分部积分法可得 = 【注意】也可不做换元，而直接应用分部积分法计算 = （10）应选：（D） 【分析】从导函数的图像可知 （） 的符号 + + + 0 - 的增减 凹 是拐点 凸 是极大值 凸 （11）应选：（A） 【分析】因函数具有连续的偏导数，从而函数可微，又因一元函数可导，故对复合函数可用一阶全微分形式不变性求全微分，得 在上式中令，由题设及的任意性，即得 （12）应选：D 【分析】由2AB=A得A（2B-E）= 0，从而