关于直线l绕p旋转的最值问题.docx

关于直线l绕p旋转的最值问题 在苏教版的《第五》第3.4.2节中，适用于3个：点（1.2）的直线l、x轴的正半轴和y轴的正半轴的a和b。aob的面积最小，因此我们计算线性方程。 解完后发现当△AOB的面积最小时,点P(1,2)是AB的中点. 是巧合还是一般规律?一般性探究后不难得知,若第一象限内的P点坐标为(x0,y0),则当A、B两点坐标分别为(2x0,0)、(0,2y0)即P是AB的中点时,△AOB的面积最小,有最小值2x0y0. 用以上结论解决“2006年上海春季卷第11题:已知直线l过点P(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为＿＿＿＿.”易如反掌,但对下列同类更一般的问题:“如图,已知直线m过定点M(6,4),它与定直线l:y=4x相交于第一象限内的点P,与x轴正半轴交于点Q,且△POQ的面积最小,则直线m的方程为.”却束手无策. 若△POQ的面积最小时,仍有结论:M为PQ的中点,则设P (a,4a)、Q (b,0),由 ,可—以立得直线 通过探索,我们肯定了上述结论,有 最小面积定理过∠AOB内一定点P作直线l,分别交OA、OB于A、B,则当且仅当P为AB的中点时,SΔAOB最小. 证明如图,过P作PC//OB交OA于C,作PD//OA交OB于D,设AOB=θ,OC=x0,OD=y0,AC=a,BD=b,则由△ACP～△PDB,得,所以AC·BD=OC·OD即ab=x0y0,所以 等号当且仅当即即P为AB的中点时成立. 所以,当且仅当P为AB的中点时,S△AOB取到最小值2x0y0sinθ. 上面研究了直线l绕P旋转时,何时S△AOB最小.我们自然还要问,何时截线段积PA·PB最小?何时截距和OA+OB最小? 类似地,我们得到了 最小截线段积定理过∠AOB内一定点P作直线l,分别交OA、OB于A、B,则当且仅当OA=OB时,截线段积PA·PB最小. 证明如上图,同上所设,在△AOB、△ACP、△BDP中,由余弦定理,有 等号当且仅当即即OA=OB时成立. 所以,当且仅当OA=OB时,截线段积PA·PB取到最小值2x0y0(1—cosθ). 最小截距和定理过∠AOB内一定点P作直线l,分别交OA、OB于A、B,过P作PC∥OB交OA于C,作PD//OA交OB于D,则当且仅当时,截距和OA+OB最小. 证明如上图,同上所设,则 等号当且仅当时成立. 所以,当且仅当时,截距和OA+OB取到最小值最后用以上性质解决一道较难的例题.例如图,过点P(1,5)作直线l,与直线a:y=、直线b:x=2分别交于A、B两点,M为直线a与直线b的交点,则△ABM面积的最小值为＿＿＿＿,PA·PB的最小值为＿＿＿＿,MA+MB的最小值为＿＿＿＿. 略解过P作PC//MB交MA于C,可求得∠AMB=θ=30°,MC=x0=2,PC=y0=5—,故△ABM面积的最小值为,PA·PB的最小值为,MA+MB的最小值为 ..... 最后用以上性质解决一道较难的例题. 例如图,过点P(1,5)作直线l,与直线直线b:x=2分别交于A、B两点,M为直线a与直线b的交点,则△ABM面积的最小值为＿＿＿＿,PA·PB的最小值为＿＿＿＿,MA+MB的最小值为＿＿＿＿.