1980年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案[教学].doc

1980年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科） 一．（本题满分6分） 将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式： 1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围 解：1.x5y-9xy5=xy(x2+3y2)(x2-3y2). 2.x5y-9xy5=xy(x2+3y2)(x+y)(x-y). 3.x5y-9xy5=xy(x+yi)(x-yi)(x+y)(x-y). 二．（本题满6分） O3 3 3 1 2 O1 O2 1 2 半径为1、2、3的三个圆两两外切证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形 证：设⊙O1⊙O2⊙O3的半径为1、2、3 因这三个圆两两外切，故有 O1O2=1+2=3， O2O3=2+3=5，O1O3=1+3=4， 则有O1O22 + O1O32=32+42=52= O2O32 根据勾股定理的逆定理， △O1O2O3为直角三角形 三．（本题满分10分） 用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点 Y A(0,) E D B(b,0) O C(c,0) X 证：取△ABC最长一边BC所在的直线为X轴，经过A的高线为Y轴，设A、B、C的坐标分别为A（0，）、B（b，0）、C（c，0），根据所选坐标系，如图，有0,b0,c0 AB的方程为，其斜率为 AC的方程为，其斜率为 高线CE的方程为 高线BD的方程为 解（1）、（2），得：（b-c)x=0 ∵b-c≠0∴x=0 即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上 因此，三条高线交于一点 四．（本题满分10分） 证明对数换底公式： 解：见课本 五．（本题满分10分） 直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB P N M B A L 证：用反证法假如平面N与平面M平行，则PA也垂直于N，因此PA与PB重合，B点与A点重合，但这与题设矛盾， 所以平面N与平面M相交 设平面N与平面M的交线为L ∵PA⊥平面M，∴PA⊥L 又∵PB⊥平面N，∴PB⊥L ∴L⊥平面PAB，∴L⊥AB 六．（本题满分12分） 设三角函数其中k≠0 1．写出f(x)极大值M、极小值m与最小正周期; 2．试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m 解：1.M=1，m=-1， 2.f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m 而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m， 必须且只须使f(x)的周期≤1即： 可见，k=32就是这样的最小正整数 七．（本题满分14分） CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、 △ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示） C A D B 解：设CD=h，AB=c，