2009数学建模暑期培训.ppt

拟合与插值的区别 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。 问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面。 解决方案： 若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是曲线数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。 若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； 根据曲线拟合问题的定义，其关键在于准则的选取， 选取的准则不同，其对应的拟合方法及其复杂程度 也不相同。 对于一维曲线拟合，设n个不同的离散数据点为 ，要寻找的拟合曲线方程为 记拟合函数在 处的偏差为 常用的准则有： 准则1： 选取 ，使所有偏差的绝对值之和最小，即 准则2： 选取 ，使所有偏差的绝对值的最大值最小， 即 准则3： 选取 ，使所有偏差的平方和最小，即 相对而言，准则3最便于计算，因而通常根据准则3 来选取拟合曲线 。准则3又称为最小二乘准则， 对应的曲线拟合方法称为最小二乘法。 曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路 第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), mn, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) （1） 其中 a1,a2, …am 为待定系数。 第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）： 使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离?i 的平方和最小 。 记 问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。 线性最小二乘法的求解：预备知识 超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组 即 Ra=y 其中 超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。 如果有向量a使得 达到最小， 则称a为上述超定方程的最小二乘解。 线性最小二乘法的求解 定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解，且即为方程组 RTRa=RTy 的解：a=(RTR)-1RTy 所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。 其中 Ra=y （3） 例：求线性方程组 的最小二乘解。 解：由题知 于是 求解方程组 得原方程组的最小二乘解为 练习：用最小二乘解求解超定方程组 选定一组函数 组解出 后，就可由正规方程 ，于是就可得线性最小二乘拟合函数 所给数据的散点图，观察数据所呈现出来的曲线的大致 一般的做法是首先绘出 形状， 再结合该问题所在专业领域内的相关规律和结论， 来确定拟合函数的形式。 实际操作时可在直观判断的基础上，选几种常用的 曲线分别进行拟合，比较选择拟合效果最好的曲线。 面对一组数据，作线性最小二乘拟合时，恰当选定函 是一个难点。 数 常用的曲线有直线、多项式、双曲线和指数曲线等。 另外，曲线拟合又可分为线性曲线拟合和非线性曲线 拟合。 一般地，如果拟合函数中的系数 以线性形式出现， 全部 如拟合函数 为线性拟合，也称为多项式拟合； 若拟合函数中的系数 不能全部以线性形式出现， 如指数拟合函数 为非线性曲线拟合。 实际应用中，多项式最小二乘拟合用的较多， MATLAB中也有专用函数。 线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中函数{r1(x), …rm(x)}的选取方法 1. 通过机理分析建立数学模型来确定f(x)； + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + f=a1+a2x f=a1+a2x+a3x2 f=a1+a2x+a3x2 f=a1+a2/x f=aebx f=ae-bx 2. 将数据(xi , yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定f(x)： 用MATLAB作线性最小二乘拟合 1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合,可利用已有程序: a=polyfit(x,y,m) 2. 对正规方程组 可得最小二乘意义下的解。 ，用 3.多项式在x处的值y可用以下命令计算： y=polyval（a，x） 输出拟合多项式系数 a=[a1, …am , am+1] (数组)） 输入同长度