数值分析(课件)数值分(课件).ppt

数值分析课程 学时：40 讲课学时：40 平时成绩：出勤+作业 期末考试：闭卷 期末成绩：平时占10%+ 期末卷面占90% 课程学习结束后你具备的能力 1. 对具体的数值计算问题，会选择合适的算法，并通过计算机计算出正确结果； 2. 对给定的算法会从理论上分析其优劣性； 1) 模型误差 我们在解决实际问题时，通常需要将实际问题转化为数学问题，然后加以求解。这样的转化过程就是建立数学模型的过程。 建立数学模型时，为便于分析或计算，往往需要对实际问题进行抽象和合理的简化，忽略一些次要因素。这样，建立的数学模型虽然“精确”，但其实只是客观现象的一种近似。这种实际问题与数学模型之间产生的误差称为模型误差。 3) 截断误差(方法误差) 在使用无穷级数求和时，只能取前面有限项的和来近似作为该级数的和，于是就产生了有限过程代替无限过程的误差。 这种在计算过程中通过有限过程的计算结果代替无限过程的结果而造成的误差，称为截断误差，这是计算方法本身出现的误差，故又称为方法误差。 截断误差的大小，直接影响数值计算的精度，所以它是数值计算中必须十分重视的一类误差。 4) 舍入误差（计算误差） 在计算中由于四舍五入而产生的误差，称为舍入误差。 这种误差的产生是由于在计算机中遇到的数据可能位数很多，也可能是无穷小数（例如1/3=0.33333…等），但计算机在计算时，都只能用有限位小数来代替或用位数较少的小数来代替位数较多的有限小数，即必须进行四舍五入。 三、误差的定义 当取3.141作为?的近似值时 ??-3.141?=?0.3141592…?10 -0.3141?10? ≤0.0000592 ?10 0.005=1/2 ? 10-2 3.1416作为?的近似值时 ? ?-3.1416 ?=? 0.3141592…?10-0.31416?10 ? ≤0?10 ≤ 000005 0.5 ? 10-4 k-n=1-n=-2 所以n=3, ?A= 3.141具有3位有效数字 k-n=1-n=-4 所以 n=5, ?A= 3.1416有5位有效数字 如果以 m/s2 为单位， 重力常数g， 若以km/s2为单位， ，它们具有几位有效数字？绝对误差和相对误差有区别吗？与量纲有关吗？ 这里 它们虽然写法不同，但都具有3位有效数字. 例 因为按第一种写法 按第二种写法 x3=1.7320是其近似值,问它们分别有几位有效数字? 例 x1=1.73, x2=1.7321, 至于绝对误差限，由于单位不同所以结果也不同, 但相对误差都是 注意相对误差与相对误差限是无量纲的，而绝对误差 与误差限是有量纲的. 例题说明有效位数与小数点后有多少位数无关. 在数学发展中，理论和计算是紧密联系的。 随着科学技术的发展，出现了许多复杂的科学技术问题。为了解决这些问题，先要根据提出的问题和条件建立数学模型，然后进行解算。从数学模型求解的角度看，有解析法、数值解法和图解法等。 通常把求数值解的问题称为数值计算问题，把求数值解的方法称为数值计算方法。有些数值计算问题由于其计算工作量极大，人工计算无法完成，由此产生了使用计算机解决数值计算问题的方法，这就是计算机数值计算方法。 现代计算机的出现为大规模的数值计算创造了条件，集中而系统的研究适用于计算机的数值方法变得十分迫切和必要。数值计算方法正是在大量的数值计算实践和理论分析工作的基础上发展起来的，它不仅仅是一些数值方法的简单积累，而且揭示了包含在多种多样的数值方法之间的相同的结构和统一的原理。数值算法是进行科学计算必不可缺少的起码常识；更为重要的是通过对它们的讨论，能够使人们掌握设计数值算法的基本方法和一般原理，为在计算机上解决科学计算问题打下基础。因此，计算方法已经成为工程硕士研究生必修课程。 1.1 引言 第1章数学模型和数值方法引论 先看几个例子。 例1 求方程 x2=2sinx，在区间(1,2)内的根。 理论上可知在区间(1,2)内有唯一根, 但找不出求根的解析式, 只能用数值计算方法求其近似解。 例2 用Cramer法则求解n元线性方程组。 显然理论上可行，且有精确表达式。实际计算时会出现什么问题呢？ Cramer法则原则上可用来求解线性方程组,用这种方法解一个n元方程组,要算