8.4 双曲线的简单几何性质（三）_751047.ppt

8.4 双曲线的简单几何性质（三） 教学目标 　掌握双曲线的第二定义，双曲线的准线概念． 　　能利用已知条件熟练地求双曲线的标准方程． 教学重点 曲线的比值定义，双曲线的准线及其方程． 教学难点 双曲线标准方程的应用. 例1. 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分 绕其虚轴旋转所成的曲面（如图），它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m). 例2 点 与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹． 　　解：设 d是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨 迹就是集合： 　　 由此得： 　　 化简得： 　　 设 ，就可化为： ． 　　这是双曲线的标准方程，所以点 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a 、2b 的双曲线 　由此可知，当点 M到一个定点的距离和它到 一条定直线的距离的比是常数 时，这 个点的轨迹是双曲线．通常称为双曲线的第二 定义．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲 线的准线，常数 是双曲线的离心率． 　对于双曲线 ，相应于焦点 的 准线方程是 ，根据双曲线的对称性，相应于 焦点 的准线方程是 ，所以双曲线有 两条准线． 因此，双曲线离心率的几何意义是双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比． 例3? 已知双曲线方程，求它的焦点坐标、顶点坐标、离心率、准线方程和渐近线方程，并画出草图． 　　可由一位学生演板，其他学生练习，教师巡视． 　　解：将方程化为标准方程 　　 可知双曲线的焦点在y轴上， ， 　　∴ 　　 ∴焦点 ， ，顶点(0,-1) (0,1)， 准线方程为 ，渐近线方程为 ，方程所表示的图形，如图． 例4? 求中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线的倾斜角为 ，一条准线方程为 x=6的双曲线的标准方程． 解：由题设可知双曲线的焦点在 x 轴上， 设双曲线的标准方程为 　　 依题设可得 又 解得 　　 故所求双曲线的标准方程为 　　评析：根据双曲线的准线方程就可确定双曲线的焦点位置，设出方程用待定系数法求 a2、b2 ，是求双曲线的标准方程的一般思想方法． 　例5? 双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，右准线方程是x=1 ．且经过点 A(2,2)．求:（1）双曲线的离心率e ；（2）双曲线的右焦点的轨迹方程． 　　分析：这是一道综合题，要灵活运用定义． 　　解：（1）依题意，有： 即 　　 ∴ 　　 即 解得 ． （2）设右焦点为F(x,y) ，且点 A在双曲线上，由双 曲线的第二定义得： 　　 即 为所求的轨迹方程． 　　 评析：1．要求离心率就要建立关于a、b、c 的方程，若要求离心率的范围，一般要建立关于a 、b 、c 的不等式． 　　2．若题设条件与焦点，准线有关时，一般利用第二定义来解题要方便很多． 课堂练习 1．双曲线 的两条准线的距离等于（???） 　　 A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D． 2．如果双曲线 上一点P 到双曲线右焦点的距 离是8，那么P 到右准线的距离是（?? ） 　　 A．10　　　　B． 　　　　C． 　　　　D． 3．以曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的 离心率是------- 小结: 1．双曲线的第一定义与第二定义是等价的，可以互相推出，双曲线的离心率是焦距与实轴长的比，双曲线上的点到焦点的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率．这也是双曲线的一个几何性质． 2．求双曲线方程要根据具体条件具体对待，确定焦点的位置很重要的． 黄冈中学网校达州分校 黄冈中学网校达州分校 关于x轴、y轴、原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 y x O A2 B2 A1 B1 . . F1 F2 y B2 A1 A2 B1 x O . . F2 F1