重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题.docx
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重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（????）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角为（????）
A． B． C． D．
3．已知向量与满足，且与的夹角为，则（????）
A．3 B． C．2 D．
4．如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（????）
A． B．
C． D．
5．在中，角的对边分别为，且满足的面积为，则的最小值为（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．庑殿顶是中国古代殿宇建筑屋顶的常见样式，屋顶包含一条正脊?四条垂脊，四个屋顶面.已知南开中学午晴堂侧楼屋顶为庑殿顶样式，整个屋顶长，宽，正脊长，四个屋顶面坡度均为，其中坡度是指坡面的垂直高度和水平宽度的比值，则午静堂侧楼屋顶面积为（????）
A． B． C． D．
7．如图，已知圆台为上底面圆的一条直径，且是下底面圆的一条弦，，矩形的面积等于，则该圆台的侧面积为（????）
??
A． B． C． D．
8．已知中，角的对边分别为，且满足，在上的投影向量的模长为，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（????）
A．对于平面，若，则
B．对于平面和直线，若，则
C．对于平面和直线，若，则
D．对于平面和直线，若，则
10．已知圆，圆心关于直线对称点为为圆上两点，且满足，点为坐标原点，则下列正确的是（??）
A． B．轴与圆相切
C．线段的中点轨迹为圆 D．的最大值为
11．如图，棱长为4的正方体中，点为的中点，动点满足，则下列说法正确的是（????）
A．平面平面
B．直线与平面所成角为，则的取值范围是
C．设平面，则三棱锥的体积为
D．以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，则的取值范围是
三、填空题
12．已知直线和直线垂直，则实数.
13．已知中，角的对边分别为为线段的中点，，则.
14．已知三棱锥中，，三棱锥的体积为，则当取最小值时，三棱锥外接球的体积为.
四、解答题
15．在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的面积.
16．如图，在直三棱柱中分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
17．已知圆满足：①；②与圆外切；③被直线分成两段圆弧，其弧长的比为.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆相交于两点，四边形为平行四边形，求直线的方程.
18．已知在平行四边形中，是边上一点，且满足，.
(1)求的大小；
(2)现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.如图：
（i）证明：平面平面；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值.
19．如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，且为的中点，点在平面内的射影为点，且.
(1)求证：；
(2)当为等边三角形时，求点到平面的距离；
(3)若，记三棱锥的外接球表面积，当函数取最小值时，平面与平面夹角的大小为，求实数的值.
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参考答案：
1．A
【解析】利用复数除法的四则运算化简复数，再根据定义写出复数的虚部即可.
【详解】因为
所以复数的虚部为：
故选：
2．C
【分析】先把方程化为斜截式，得到直线的斜率，即可求解.
【详解】由得：，设其倾斜角为，，
所以斜率，故倾斜角为，
故选：C
3．C
【分析】计算出，再根据计算出结果.
【详解】由题意得：，
所以.
故选：C
4．B
【分析】直接利用向量的线性运算和中线向量的应用求出结果．
【详解】在三棱锥中，点N为棱的中点，点M在棱PC上，且满足，
设，
故，
所以，
点N为棱的中点，
所以，
故.
故选：B．
5．B
【分析】直接利用余弦定理得到,即得B的值，结合三角形面积公式和基本不等式求的最小值.
【详解】，，
又，
又因为，所以，
，
当且仅当时，等号成立，
即为等边三角形时，取最小值为2.
故选：B
6．B
【分析】根据庑殿顶抽象出几何体，该几何体的底面为矩形，侧面由两个全等梯形和两个全等的等腰三角形组成.根据坡度比可以计算三角形和梯形的高，根据题意计算表面积即可.
【详解】根据庑殿顶抽象出几何体，该几何体的底面为矩形，侧面由两个全等梯形和两个全等的等腰三角形组成.
过点作底面的垂线交底面于点，过点作底面矩形的长的垂线