算法合集之《换群快速幂运算 研究与探讨》.doc

江苏省苏州中学 潘震皓 第 PAGE 10 页 共 NUMPAGES 11 页 置换群快速幂运算 研究与探讨 江苏省苏州中学 潘震皓 [关键词] 置换 循环 分裂 合并 [摘要] 群是一个古老的数学分支，近几年来在程序设计中置换群得到了一定的应用。本文针对置换群的特点提出了线性时间的幂运算算法，并举例说明了优化后算法的效果。 [正文] 一、引言 置换群是一种优秀的结构，在程序设计中，它的大部分基本操作，时间和空间复杂度都是线性的，甚至有的还是常数的。所以一个问题如果能够抽象归结为一个置换群模型的话，往往能够在程序设计中轻松地解决。但是对于整幂运算来说，似乎只能通过反复做乘法来获得O(k*乘法)或是O(logk*乘法)的算法；而对于分数幂运算，则找不到较好的方法实现。 二、置换群的整幂运算 2.1 整幂运算的一个转化 在置换群中有一个定理：设，（T为一置换，e为单位置换（映射函数为的置换）），那么k的最小正整数解是T的拆分的所有循环长度的最小公倍数。 或者有个更一般的结论：设，（T为一循环，e为单位置换），那么k的最小正整数解为T的长度。 我们知道，单位置换就是若干个只含单个元素的循环的并。也就是说，长度为l的循环，l次的幂，把所有元素都完全分裂在这里，第一次出现了“分裂” 在这里，第一次出现了“分裂”。在后面的叙述中，将会多次出现。它的意思，通常是指 将一个循环按照mod k的值平均地分成k个循环。 我们来做一个试验：(下面的置换均以循环的连接表示) 设n=6，那么。任取一T=(1 3 5 2 4 6)，来做一遍乘法： 分裂成了2份！而且这2份恰好是T的奇数项和偶数项！（注意可以写成(1 5 4)(3 2 6)） 再来看看： 不出所料，分裂成了3份，每份分别是在原来循环中的位置mod 3=0, 1, 2的项。 继续看： 与前面不同的是，循环只分裂成了2份。并且每一份的循环看起来都是杂乱无章的，只知道是在循环中的奇数项和偶数项。 再来拿做个试验： 这次的循环，根本没有分裂，只是顺序改变了一下。 这之间有什么共同点呢？对，那就是gcd(k,l)。 因为gcd(6,6)=6，所以循环会完全分裂，而gcd(2,6)=2, gcd(3,6)=3, gcd(4,6)=2, gcd(5,6)=1也相对应了上面的每一个试验的结果。 经过多次试验以后，我们得到三个结论： 结论一：一个长度为l的循环T，l是k的倍数，则是k个循环的乘积，每个循环分别是循环T中下标i mod k=0,1,2…的元素按顺序的连接。 结论二：一个长度为l的循环T，gcd(l,k)=1，则是一个循环，与循环T不一定相同。 结论三：一个长度为l的循环T，是gcd(l,k)个循环的乘积，每个循环分别是循环T中下标i mod gcd(l,k)=0,1,2…的元素的连接。 可以看出，结论三只不过是把k分成gcd(l,k)*(l/gcd(l,k))，再运用结论一和结论二所得到的。如果这几个结论是正确的话，那显然只需要确定结论二中叙述的，就能够在O(n)内解决任意循环的任意整幂运算了。 2.2 循环长度与指数互质时的整幂运算 和上面一样，我们来做几个试验。 设T=(1 2 5 3 4)，则： 不知大家有没有注意到，如果把循环T的奇数项和偶数项取出来，就是1 5 4和2 3，如果两者并在一起，就是刚才求出的T2了。再试一个： 同样地，把mod 3=1, 2, 0的项取出来：1 3、2 4、5，连接在一起，就是所求得的新循环了。 把这一试验结果写成一个定理，就是： 设我们预先定义，若数组，则a按顺序包含了循环T，下标范围，且a[0]包含了循环中最小的元素，，且gcd(l,k)=1，则。 我们预先定义，若数组，则a按顺序包含了循环T，下标范围，且a[0]包含了循环中最小的元素 这个定理看起来似乎挺复杂，但如果画张图看，一点也不复杂： 设l=10, k=3： 我们来一步一步构造Tk： 像这样反复前进三格，然后涂色... 最后，得到的循环就是所需要求的Tk了。 证明：设任意，能唯一地找到，。 那么j→T显然等于， (表示连续执行p次→T) 由置换的连接的运算法则可知，。所以。由于循环的性质，我们令，就得到了上面的公式。 2.3 算法的实现 根据上一节的定理和再上一节的3个结论，我们可以很方便地得到求整幂运算的O(n)算法，但是如果单纯地照着做，常数项是非常大的，有时甚至还不如O(nlogk)的算法快。针对这一问题，可以使用一个简化的算法： For 源置换中每一个循环 For 环中每一个未标记元素 Do 做上标记 放入结果数组 前进k格 Until 回到这个元素 将结果数组中的元素取出，得到的环，便是目标置换包含的一个循环 可以分析出，这个算法是符合上一节的定理和再上一节的3个结论的，在这