数学建模习题--第六章.doc

习 题 1．在6.1节平衡状态的交通流模型中，从对于制动力（或驱动力）的假设（10）式及u 0 出发，推导平衡状态下的速度和流量函数（12）和（13）式. 2.在交通流模型中如果假定制动力（或驱动力）与两车距离无关，推导平衡状态的速度和流量函数，这个结果符合实际吗？ 3．在6.2节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数 1分别就、和3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况. ②如何获得最大持续产量，其结果与6.2节的产量模型有何不同. 4.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型： 其中和N的意义与Logistic模型相同. 设渔场量的自然增长服从这个模型，又单位时间捕捞量h Ex.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平. 5.在6.4节种群竞争模型中设 1 ，求平衡点并分析其稳定性. 6．对于6.4节种群竞争模型的第3种情况： 1, 1 图6-5（3） ，分析相轨线的趋势并画出示意图，解释平衡点 p稳定的意义. 7．在6.5节种群相互依存模型中，按以下4 种情况作相轨线示意图，并解释平衡点稳定的意义. ① , ② 1, 1 ③ 1, 1, 1 ④ 1, 1, 1 （其中④已经由图6-6给出，可作为参考） 8．与6.5节的模型稍有不同，如果两个种群都能独立生存,共处时又能相互提供食物，试建立种群依存模型并讨论平衡点的稳定性，解释稳定的意义. 9．对于第8题，如果两个种群都不能独立生存，但共处时可以相互提供食物，试建模以讨论共处的可能性. 10．在6.6节的食饵—捕食者系统中，如果在食饵方程（1）中增加自身阻滞作用的Logistic项，方程（2）不变，讨论平衡点及稳定性，解释其意义. 11．如果在6.6节的食饵和捕食者方程中都增加Logistic项，即方程（12）、（13），讨论平衡点及稳定性. 12．如果在食饵—捕食者系统中，捕食者掠食的对象只是成年的食饵，而未成年的食饵因体积太小免遭捕获.在适当的假设下建立这三者之间关系的模型，求平衡点. 13．一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物.爬行动物以哺乳动物为食物，哺乳动物又依赖植物生存.在适当假设下建立三者之间关系的模型，求平衡点. 14．大陆上物种数目是常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移.岛上物种数量的增加与尚未迁移的物种数目有关，而随着迁移物种数的增加又导致岛上物种的减少.在适当假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况. 15．人体注射葡萄糖溶液时，血液中葡萄糖浓度的增长率与注射速率r成正比，与人体血液体积v成反比，而由于人体组织的吸收作用，的减少率与本身成正比.分别在以下几种假设下建立模型，并讨论稳定情况. ① 人体血液体积v不变. ② v随着注入溶液而增加. ③ 由于排泄等因素v的增加有极限值. ④ 注射是间断进行的. 16．讨论资金积累、国民收入与人口增长的关系. ① 若国民平均收入x 与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的 ② 作出和的示意图，说明二曲线交点是平衡点，讨论它的稳定性. ③ 分析人口激增会引起什么后果. 17．讨论另一种捕鱼业持续收获的效益模型。设渔场鱼量方程仍为6.2节（3）式， 但捕捞强度为变量，其变化规律是，当单位时间收入T大于支出S时（见6.2节（9）式）E增加，T小于S时E减少，E的变化率与成正比. ① 建立关于的方程，求，的平衡点并讨论其稳定性. ② 将所得结果与6.2节的效益模型和捕捞过度模型进行比较.