成人高考(专升本)高等数学二 成考核心考点笔记 成考小抄 成考重点资料.doc
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2016年成人高考(专升本)高等数学二
(第一章样本,共14页)
严格依据大纲编写:
笔记目录
第一章极限和连续
第一节极限
[复习考试要求]
1.了解极限的概念(对极限定义等形式的描述不作要求)。会求函数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质,掌握极限的四则运算法则。
3.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价无穷小量代换求极限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
[主要知识内容]
(一)数列的极限
1.数列
定义按一定顺序排列的无穷多个数
称为无穷数列,简称数列,记作 xn ,数列中每一个数称为数列的项,第n项xn为数列的一般项或通项,例如
(1)1,3,5,…,(2n-1),…(等差数列)
(2)(等比数列)
(3)(递增数列)
(4)1,0,1,0,…,…(震荡数列)
都是数列。它们的一般项分别为
(2n-1),。
对于每一个正整数n,都有一个xn与之对应,所以说数列 xn 可看作自变量n的函数xn f(n),它的定义域是全体正整数,当自变量n依次取1,2,3…一切正整数时,对应的函数值就排列成数列。
在几何上,数列 xn 可看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...xn,…。
2.数列的极限
定义对于数列 xn ,如果当n→∞时,xn无限地趋于一个确定的常数A,则称当n趋于无穷大时,数列 xn 以常数A为极限,或称数列收敛于A,记作
比如:
无限的趋向0
,无限的趋向1
否则,对于数列 xn ,如果当n→∞时,xn不是无限地趋于一个确定的常数,称数列 xn 没有极限,如果数列没有极限,就称数列是发散的。
比如:1,3,5,…,(2n-1),…
1,0,1,0,…
数列极限的几何意义:将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示,若数列 xn 以A为极限,就表示当n趋于无穷大时,点xn可以无限靠近点A,即点xn与点A之间的距离|xn-A|趋于0。
比如:
… … (以下部分略
14页请联系——
无限的趋向0
无限的趋向1
(二)数列极限的性质与运算法则
1.数列极限的性质
定理1.1(惟一性)若数列 xn 收敛,则其极限值必定惟一。
定理1.2(有界性)若数列 xn 收敛,则它必定有界。
注意:这个定理反过来不成立,也就是说,有界数列不一定收敛。比如:
1,0,1,0,…有界:0,1
2.数列极限的存在准则
定理1.3(两面夹准则)若数列 xn , yn , zn 满足以下条件:
(1),
(2), 则
定理1.4若数列 xn 单调有界,则它必有极限。
3.数列极限的四则运算定理。
定理1.5
(1)
(2)
(3)当时,
(三)函数极限的概念
1.当x→x0时函数f(x)的极限
(1)当x→x0时f(x)的极限
定义对于函数y f(x),如果当x无限地趋于x0时,函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x→x0时,函数f(x)的极限是A,记作
或f(x)→A(当x→x0时)
例y f(x) 2x+1
x→1,f(x)→?
x 1x→1
x 1x→1
(2)左极限
当x→x0时f(x)的左极限
定义对于函数y f(x),如果当x从x0的左边无限地趋于x0时,函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x→x0时,函数f(x)的左极限是A,记作
或f(x0-0) A
(3)右极限
当x→x0时,f(x)的右极限
定义对于函数y f(x),如果当x从x0的右边无限地趋于x0时,函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x→x0时,函数f(x)的右极限是A,记作
或f(x0+0) A
例子:分段函数
,求,
解:当x从0的左边无限地趋于0时f(x)无限地趋于一个常数1。我们称当x→0时,f(x)的左极限是1,即有
当x从0的右边无限地趋于0时,f(x)无限地趋于一个常数-1。我们称当x→0时,f(x)的右极限是-1,即有
显然,函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系:
定理1.6当x→
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