《平面的法向量与平面的向量表示》课件3.ppt

A B C O 小结 1.直线与平面垂直的定义 2. 平面的法向量： 3. 平面的向量表示： 4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件 6.有关平面的斜线概念， 三垂线定理及其逆定理 P104 巩固性训练1 1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下 列条件,判断l1,l2的位置关系. 平行 垂直 平行 巩固性训练2 1.设 分别是平面α,β的法向量,根据 下列条件,判断α,β的位置关系. 垂直 平行 相交 1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k= ；若 则 k= 。 2、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= . 巩固性训练3 1．如图，正方体 中， E为 的中点， 证明： //平面AEC 练习:用空间向量来解决下列题目 2、在正方体AC ?中，E、F、G、P、 Q、R分别是所在棱AB、BC、BB? A?D? 、D? C? 、DD?的中点， 求证：⑴平面PQR∥平面EFG。 ⑵ BD?⊥平面EFG A B C D A? B? C? D? F Q E G R P 例. 在空间直角坐标系内，设平面 经过 点 ，平面 的法向量为 ， 为平面 内任意一点，求 满足的关系式。 解：由题意可得 * 例1 * 例3 * 例3答案 * * 例2 * 例2答案 * 例3 * 例3答案 * 3.2.2平面的法向量与 平面的向量表示 高中数学选修2－1 提问：A，B，C，三点不线，四点A，B，C，M 共面的充要条件是： B A C M 图示： 平面的向量方程 1.直线与平面垂直的定义 2. 平面的法向量： 如果向量 的基线与平面 垂直，则向量 叫平面 的法向量。 几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向量 与平面平行或在平面内，则有 A 给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的. l 3. 平面的向量表示： 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，上节我们用直线的方向向量表示了空间直线、平面间的平行 如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系呢？ 4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件 l1 教材未提 l 教材未提 待定系数法 例 如图，已知矩形 和矩形 所在平面互相垂直，点 分别在对角线 上，且 求证： A B C D E F x y z M N 简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以 为正交基底，建立如图所示空间坐标系， 设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c， 则可得各点坐标，从而有 又平面CDE的一个法向量是 因为MN不在平面CDE内 所以MN//平面CDE 分析：要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直. 例:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ . m n g 取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系? m n g 解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在 上取非零向量 因m与n相交,故向量m ,n 不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ,使 例:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果