考研数学高数部分试卷与解答2003.doc

PAGE 1 《考研数学试卷》2003高数部分 填空题 [2003.一.1.4] [2003.四.1.4] [2003.二.1.4]若时，与是等价无穷小，则 [2003.三.1.4]设，其导数在处连续，则的取值范围是 [2003.二.2.4]设函数由方程所确定，则曲线在点处的切线方程是 [2003.三.2.4]已知曲线与轴相切，则可以通过表示为 [2003.四.2.4] [2003.二.4.4]设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的面积为 [2003.一.2.4]曲面与平面平行的切平面的方程为 [2003.三.3.4][2003.四.3.4]设，而表示全平面，则 [2003.二.3.4]的麦克劳林公式中项的系数是 [2003.一.3.4]设，则 单项选择题 [2003.一.2.4][2003.二.1.4]设均为非负数列，且，, 则必有（D） A. 对任意成立 B. 对任意成立 C. 极限不存在 D. 极限不存在 [2003.四.1.4]曲线（D） A.仅有水平渐近线 B. 仅有铅直渐近线 C.既有水平又有铅直渐近线 D. 既有铅直又有斜渐近线 [2003.三.1.4]设为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数（D） A.在处左极限不存在 B. 有跳跃间断点 C.在处右极限不存在 D. 有可去间断点 [2003.四.2.4]设函数，其中在连续，则是在处可导的（A） A.充分必要条件 B. 必要但非充分条件 C.充分但非必要条件 D. 既非充分又非必要条件 [2003.一.1.4][2003.二.4.4]设函数在连续，其导数的图形如图（略），则有（C） A 一个极小值点和两个极大值点 B 两个极小值点和一个极大值点 C 两个极小值点和两个极大值点 D 三个极小值点和一个极大值点 [2003.三.2.4][2003.四.3.4]设可微函数在取得极小值，则下列结论正确的是（A） A.在处的导数等于零 B. 在处的导数大于零 C. 在处的导数小于零 D. 在处的导数不存在 [2003.二.2.4]设，则极限（B） A. B. C. D. [2003.二.5.4]设连续，则（B） A. B. C. D. [2003.二.3.4]已知是微分方程的解，则的表达式为（A） A. B. C. D. [2003.一.3.4]已知函数在点的某个邻内连续，且，则（A） A. 点不是的极值点 B.点是的极大值点 C. 点是的极小值点 D. 根据所给条件无法判断点是否为的极值点 [2003.三.3.4]设，则下列命题正确的是（B） A 若条件收敛，则与都收敛 B 若绝对收敛，则与都收敛 C 若条件收敛，则与的敛散性都不定 D 若绝对收敛，则与的敛散性都不定 解答题 [2003.三.3.8][2003.四.3.8]设。 试补充定义使得在上连续 解 令，有 由此，只要补充定义就可使得在上连续 [2003.二.3.10]设函数，问为何值时，在处连续；为何值时，是的可去间断点？ 解 令，有，得或 当时，即在处连续； 当时，因而是的可去间断点。 [2003.二.4.10]设函数由参数方程所确定，求。 解 由得 所以 [2003.三.8.8]设函数在上连续，在内可导，且。试证必存在，使 证 因为在上连续，所以在上连续，且在必有最大值和最小值，于是 故， 由介值定理至少存在一点使 因为，且在上连续，在内可导，由罗尔定理可知， 至少存在一点，使 [2003.二.7.12] 讨论曲线与的交点个数。 解 问题等价为讨论方程有几个不同的实根。 设，则，不难看出驻点。 ]当时，，即单调减少；]当时，，即单调增加；故为函数的最小值。 从而当，即时，无实根，即两条曲线无交点； 当，即时，有惟一的实根，即两条曲线只有一个交点； 当，即时，又由于， ，故有两个实根，即两条曲线有两个交点； [2003.四.6.8]设在内的驻点为。问为何值时，最小？并求出最小值。 解 由，得惟一驻点。 考察在时的最小值。 令，得惟一驻点 当时；当时， 因此为极小值，也是最小值 [2003.二.5.9]计算不定积分 解 移项整理得 原式 解法二：常规先换元再做，试试！ [2003.二.10.10]设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且。若极限存在 证明：（1）在内；（2）在内存在点，使； （3）在内存在异于点的点，使 证 （1）因为极限存在，所以，由连续性。 又由内知，在上单调增，故在内； （2）设，则， 满足柯西中值定理的条件，于是在内存在点，使 ，即； （3），在