人教版数学八年级下册第十八章 平行四边形 大单元备课课件+任务单+练习-小专题特殊平行四边形的性质与判定（教师）.docx
小专题特殊平行四边形的性质与判定
1．(聊城)如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：
(1)△ABF≌△DAE；
(2)DE＝BF＋EF.
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC.
∴∠BPF＝∠DAE.
∵∠ABC＝∠AED，
∴∠BAF＝∠ADE.
∵∠ABF＝∠BPF，
∴∠ABF＝∠DAE.
∵AB＝DA，
∴△ABF≌△DAE(ASA)．
(2)∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，DE＝AF.
∵AF＝AE＋EF＝BF＋EF，
∴DE＝BF＋EF.
2．如图，在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
又∵CF＝AE，
∴BE＝DF.
又∵BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.
∴四边形BFDE是矩形．
(2)∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°.
在Rt△BFC中，由勾股定理，得
BC＝eq\r(CF2＋BF2)＝eq\r(62＋82)＝10.
∴AD＝BC＝10.
又∵DF＝10，∴AD＝DF.
∴∠DAF＝∠DFA.
∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB.
∴∠DAF＝∠FAB.
∴AF是∠DAB的平分线．
3．(北京)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝eq\r(5)，BD＝2，求OE的长．
解：(1)证明：∵AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA.
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC.
∴∠DAC＝∠DCA.∴AD＝CD.
∵AB＝AD，∴AB＝CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
(2)由(1)知，四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC.∴∠AOB＝90°，BO＝eq\f(1,2)BD＝1.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AO＝eq\r(AB2－BO2)＝2.
∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.
又∵点O是Rt△ACE斜边AC的中点，
∴OE＝AO＝2.
4．(盐城)在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
解：(1)证明：连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC，BD互相垂直平分，BO＝DO，AB＝AD.
又∵BE＝DF，
∴BE＋BO＝DF＋DO，即OE＝OF.
∴AC，EF互相垂直平分．
∴AE＝AF.
在△ABE和△ADF中，
eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,BE＝DF，,AE＝AF，))
∴△ABE≌△ADF(SSS)．
(2)四边形AECF是菱形．理由如下：
由(1)可知，AC，EF互相垂直平分，
∴四边形AECF是菱形．
5．(青岛)已知：如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.
(1)求证：AB＝AF；
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥BF，DC＝AB.
∴∠GAF＝∠GDC，
∠GFA＝∠GCD.
∵点G为AD的中点，∴AG＝DG.
在△GAF和△GDC中，
eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GFA＝∠GCD，,∠GAF＝∠GDC，,AG＝DG，))
∴△GAF≌△GDC(AAS)．
∴AF＝DC.
∴AB＝AF.
(2)四边形ACDF是矩形．
证明：∵AB＝AF，AG＝AB，∴AG＝AF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°.
∴∠FAG＝60°.
∴△AGF为等边三角形．
∴GA＝GF.
由(1)知，AF＝DC，AF∥DC.
∴四边形ACDF为平行四边形．
∴AG＝GD，CG＝GF.
∴CF＝AD.∴四边形ACDF是矩形．
6．(鄂州)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)当DE＝DF时，求EF的长．
解