[2017年整理]1991年全国高中数学联赛试题及解答.doc

1991年全国高中数学联赛一试题 一．选择题： 1．由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为( ) A．4B．8C．12D．242．设a、b、c均为非零复数，且==，则的值为( ) A．1B．ω C．1ω，ω2 D．1ω，－ω2 3．设a是正整数，a100，并且a3+23能被24整除，那么，这样的a的个数为( ) A．4B．5C．9D．104．设函数y=f(x)对于一切实数x满足f(3+x)=f(3－x)．且方程f(x)=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为( ) A．18B．12C．9D．05．设S={(x，y)|x2－y2=奇数，x，y∈R}，T={(x，y)|sin(2πx2)－sin(2πy2)=cos(2πx2)－cos(2πy2)，x，y∈R}，则( ) A．STB．TSC．ST D．ST=? 6．方程|x－y2|=1－|x|的图象为( ) 二．填空题： 1．cos210°+cos250°－sin40°sin80°= ． 2．在△ABC中，已知三个角A、B、C成等差数列，假设它们所对的边分别为a，b，c，并且c－a等于AC边上的高h，则sin= ． 3．将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n－1)个奇数进行分组： {1}， {3，5，7}， {9，11，13，15，17}，…… (第一组) (第二组) (第三组) 则1991位于第 组． 4以106，余数是 ． 5．设复数z1，z2满足|z1|=|z1+z2|=3，|z1－z2|=3，则log3|(z1)2000+(z2)2000|= ． 6．设集合M={1，2，…，1000}，现对M中的任一非空子集X，令αX表示X中最大数与最小数的和．那么，所有这样的αX的算术平均值为 ． 三．设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，试求此两部分的体积比． 四．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦．已知|OF|=a，|PQ|=B．OPQ的面积． 五．已知0a1，x2+y=0，求证： loga(ax+ay)≤loga2+． 1991年全国高中数学联赛二试题 S={1，2，…，n}，A为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其他元素于A后不能构成与A有相同公差的等差数列．求这种A的个数(这里只有两项的数列也看作等差数列)． 二．设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于． 三．设an是下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1、3或4．求证：a2n是完全平方数．这里，n=1，2，…． 1991年全国高中数学联赛解答 第一试 一．选择题： 1．由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为( ) A．4B．8C．12D．24B 2．设a、b、c均为非零复数，且==，则的值为( ) A．1B．ω C．1ω，ω2 D．1ω，－ω2 解：令===t，则a=at3．由a≠0得t=1，ω，ω2．且1+ω+ω2=0．故==．选C．3．设a是正整数，a100，并且a3+23能被24整除，那么，这样的a的个数为( ) A．4B．5C．9D．1024|a3－1，而a≡0，±1，±2，±3，4，则a3≡0，±1，0，±3，0．故a－1≡0(mod 8)． 若a≡0，1，2(mod 3)，则a3≡0，1，－1(mod 3)，∴ a－1≡0(mod 3)．即a－1≡0(mod 24)．选B．4．设函数y=f(x)对于一切实数x满足 f(3+x)=f(3－x) 且方程f(x)=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为( )A A．18B．12C．9D．0x=3对称．故6个根的和=3×2×3=18．选A．5．设S={(x，y)|x2－y2=奇数，x，y∈R}，T={(x，y)|sin(2πx2)－sin(2πy2)=cos(2πx2)－cos(2πy2)，x，y∈R}，则( ) A．STB．TSC．ST D．ST=? 解：若x2－y2为奇数，则sin(2πx2)－sin(2πy2)=cos(2πx2)－cos