[2017年整理]2002年全国高中数学联赛试题及解答.doc
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二零零二年全国高中联赛试卷
一试题(2002年10月13日上午8:00—9:40)
一.选择题(本小题满分36分,每小题6分):
1.函数f(x)=logx2-2x-3)的单调递增区间是
A.(-∞,-1) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(3,+∞) 2.若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为
A.2 B.1 C. D.
3.函数f(x)=
A.是偶函数但不是奇函数 B.是奇函数但不是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
4.直线=1与椭圆=1相交于A、B两点,该椭圆上点P,使得PAB面积等于3.这样的点P共有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.已知两个实数集合A={a1,a2,a3,,a100},与B={b1,b2,,b50},若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象,且f(a1)f(a2)≤…≤f(a100),则这样的映射共有
A.C B.C C.C D.C
6.由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1;满足x2+y2≤16,x2+(y-2)24,x2+(y+2)24的点绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2,则
A.V1=V2 B.V1=V2 C.V1=V2 D.V1=2V2
二.填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.已知复数Z1、Z2满足|Z1|=2|Z2|=3,若它们所对应的向量的夹角为60?,则= ;
8.将二项式的展开式按x 的降幂排列,若前三项的系数成等差数列,则该展开式中x的幂指数是整数的项共有 个;
9.如图,点P1、P2、…,P10分别是四面体顶点或棱的中点,那么在同一平面上的四点组(P1,Pi,Pj,Pk)(1ijk10)有 个;10.已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1且对任意x?R都有
f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1,.
若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)= ;11.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是 ;
12.使不等式sin2x+acosx+a21+cosx对于一切x?R恒成立的负数a的取值范围是 ;
三.解答题(本题满分60分,每小题20分):
13.已知点A(0,2)和抛物线y2=x+4上两点B,C,使得ABBC,求点C的纵坐标的取值范围.14.如图,有一列曲线P0,P1,P2,,已知P0是面积为1的等边三角形,Pk+1是对Pk进行如下操作得到的:将Pk的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边向形外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,).记Sn为曲线Pn所围成图形的面积.
⑴ 求数列{Sn}的通项公式;
求Sn.
15.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c?R,a≠0)满足条件:
⑴ 当x?R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)x;
当x?(0,2)时,f(x);
f(x)在R上的最小值为0.
求最大的m(m1),使得存在t?R,只要x?[1,m],就有f(x+t)x.
二试题
(本卷共三个大题,共150分,每题50分)
一.在ΔABC中,BAC=60?,ABAC,点O为ΔABC的外心,两条高BE、CF的交于点H,点M、N分别在线段BH与HF上,且满足BM=CN.
求的值.
二.实数a,b,c和正数λ使得f(x)=x3+ax2+bx+c有三个实根x1,x2,x3,且满足
⑴ x2-x1=λ x3(x1+x2).
求的最大值.
三.在世界杯足球赛前,F国的教练员为了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7这七名队员,准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场,假设在比赛的任何时刻,这些队员都有且只有一人在场上,并且A1、A2、A3、A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除,A5、A6、A7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除.如果每场换人的次数不限,那么,按每名队员上场的总时间计,共有多少种不同的情况?
2002年全国高中联赛一试题(2002
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