平稳性与功率谱密度课件.ppt

第3章平稳性与功率谱密度

问题?平稳和非平稳的含义是什么？?现实生活中哪些是平稳信号或非平稳信号？?严格平稳与广义平稳（或宽平稳）有什么关系？?严格平稳与严格循环平稳有什么关系？

目录3.1平稳性与联合平稳性3.2循环平稳性3.3平稳信号的相关函数3.4功率谱密度与互功率谱密度3.5白噪声与热噪声3.6应用举例

3.1平稳性与联合平稳性平稳性（Stationarity）:n随机信号的主要（或全部）统计特性对于参量t保持不变的特性。n包括严平稳与宽平稳。严平稳又称为狭义平稳或强平稳，宽平稳又称为广义平稳或弱平稳。

严格平稳信号的定义

严格平稳信号的理解?一个随机信号X(t)，如果它的n维概率密度（或n维分布函数）不随时间起点选择的不同而改变，则该随机信号为平稳的?平稳信号的统计特性与所选取的时间起点无关，或者说平稳信号的统计特性不随时间的推移而变化

广义平稳信号的定义

非平稳信号?不是广义平稳的信号?统计量随时间变化的信号（时变信号）

平稳信号和非平稳信号举例?接收机噪声信号：如果产生随机信号的主要物理条件在时间进程中不变化，则此信号认为是平稳的。例如，一个工作在稳定状态下的接收机，其内部噪声可以认为是随机平稳信号。但当刚接上电源，该接收机工作在过渡状态下或环境温度未达到恒定时，此时的内部噪声则是非平稳随机信号。?语音信号：语音信号本身是非平稳信号，但在10-30ms时段内可以看成是短时平稳的，便于用平稳信号的分析方法去处理问题。?将随机信号划分为平稳和非平稳有重要的实际意义，若是平稳的，可简化分析。例如，测量电阻热噪声的统计特性，由于是平稳的，在任何时间测试都可以得到相同的结果。

语音信号接收机噪声信号

严格平稳与广义平稳的关系严格平稳要求全部统计特性都具有移动不变性，而广义平稳只要求一、二阶矩特性具有移动不变性。l如果广义平稳信号是高斯信号，则也是严格平稳信号。l独立同分布的信号必定是严格平稳信号。l关于离散随机信号（或离散序列）的平稳性问题，只需要将连续时间变量t换为离散时间n即可。

严格平稳信号的性质（1）X(t)的一阶分布、密度函数和均值都与时间无关F(x;t)=F(x;t+u)=F(x)f(x;t)=f(x;t+u)=f(x)E[X(t)]=m(t)=m(t+u)=常数（2）X(t)的二维分布和密度函数与两个时刻(t,t)的绝对12位置无关，只与它们的相对差τ=t-t有关12F(x,x;t,t)=F(x,x;t+u,t+u)=F(x,x;τ,0)=F(x,x;τ)121212121212f(x,x;t,t)=f(x,x;t+u,t+u)=f(x,x;τ,0)=f(x,x;τ)121212121212R(t,t)=R(t+u,t+u)=R(τ,0)=R(τ)1212只关注两个参量(t,t)的相对差，而绝对位置可以任意移动，12其中τ=t-t为核心变量，有文献称为时滞。12

一阶密度函数平稳性示例相关函数的平稳性示例

定理3.1广义平稳的高斯信号必定是严格平稳的。证明：如果高斯信号X(t)是广义平稳的，则其均值为常数m，协方差满足平移不变性，即C(s,t)=C(s+τ,t+τ)。高斯信号的特征函数为对于任何τ，有故该信号是严格平稳的。

解：由独立性，有上式与各个参量t本身无关，也与这组参量i的平移无关，故U(t)是严格平稳信号。

例3.2试说明2.2节各例的平稳性。解：根据各个信号的均值、相关函数及概率特性，容易得出：(1)伯努利信号是严格平稳信号，也是广义平稳信号；(2)随机正弦信号（该例条件下）是广义平稳信号；(3)半随机二进制传输信号与泊松信号是非平稳的。

解：Y(t)的均值和相关函数分别为：由于Y(t)的均值为零，相关函数仅与τ有关，故Y(t)是广义平稳的。

补充例1?设随机过程X(t)=At，A为均匀分布于[0,1]上的随机变量，试问X(t)是否平稳？解：因为其中a为随机变量A的样本,可见不是平稳的。

补充例2设随机变量Z(t)=Xcost+Ysint,-∞t∞，其中X和Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3和1/3取值-1和2。讨论随机过程X(t)的平稳性。解：因为式中τ=t-t，可见Z(t)是广义平稳过程。12

又因为即Z(t)的三阶矩与时间t有关，故Z(t)不是严格平稳过程。

补充例3解：X(k)的数学期望和相关函数分别为：显然X(k)为广义平稳。

又因为X(k)在各个时刻的分布相同且相互独立，故其n维密度函数为：上式说明X(k)的n维概率密度与时间平移（按整数间隔平移）无关，所以X(t)也是狭义平稳