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5.6 最优值函数的包络定理 5.6 最优值函数的包络定理 5.6 最优值函数的包络定理 包络定理在经济学中有很重要的应用。 (1)对Hicks需求函数的Shephard引理。 5.6 最优值函数的包络定理 (2)对Marshall需求函数的Roy恒等式 (3) Hotelling引理． 在厂商理论中，生产者追求的是利润极大．设他的生产函数为y=f(x1,x2)，其中x1,x2为两个投入品，y为产出品。它们的市场价格分别为r1,r2和p，则该厂商的利润?为 5 微观经济学应用 5.1消费者偏好 5.2效用函数 5.3消费者的最有行为 5.4需求函数与需求曲线 5.5比较静态分析—— Slutsky方程 5.6最优值函数的包络定理 5 微观经济学应用 消费者理论是微观经济学的基本内容之一，在本章中，我们将重点介绍消费者理论中的一些核心概念的数理基础和主要结论的数学分析方法。 在消费者理论中首当其冲的问题是消费者面对市场如何选择商品．为此，先引入几个基本概念。 消费者对商品的选择，通常有两种度量：效用函数和偏好关系。 商品空间 价格空间 5.1消费者的偏好 5.1消费者的偏好 5.1消费者的偏好 5.1消费者的偏好 图5.1 5.1消费者的偏好 小结：通过观察可以总结出：在连续偏好关系的空间中施加适当的拓扑性，光滑偏好关系的集合就在该空间中稠密。这直观地意味着任何连续偏好关系都能“很好地”用光滑偏好近似，连续可微效用函数的假设不是没有理由的，至少可以作为初步近似。（见[3]定理8.1.10） 5.2效用函数 5.2效用函数 在经济学中大家公认，每个消费者都是有“偏好”的．然而，消费者是不是存在相应的效用函数呢？下列的定理将回答这个问题。 定理5.1（效用函数的存在性定理） 5.2效用函数 5.2效用函数 5.2 消费理论 消费理论更抽象的表述： 5.2 消费理论 5.3消费者的最优行为 当消费者面对市场的（给定）价格p=(p1,p2)，在一定的预算m约束下，消费者将如何选择？我们可以用下列的模型来刻画消费者的行为准则． 设消费者的效用函数为u=(x1,x2)，商品x1,x2的价格为p1 , p2 (pi 0)，则它的最优行为应为：在预算m约束下，谋求他的最大效用，即 下面给出了消费者在预算m约束下求效用极大的最优解的存在及唯一性定理。 5.3消费者的最优行为 定理5.2 设消费者的效用函数u(x1,x2)为x1,x2的连续函数，p1,p2(pi0)，则 定理5.2告诉我们在一定的条件下，预算约束下求效用极大的最优解的存在及唯一性，但是还不知道如何求解. 当目标函数和约束函数都是一阶可微函数，且有内点解时，我们可运用微积分中的Lagrange乘子法来求消费者最优行为的解析解． 5.3消费者的最优行为 5.3消费者的最优行为 习题： 5.3消费者的最优行为 消费者的另一种最优行为是：在一定的效用约束u0的条件下，谋求他的最小支出： 5.4需求函数与需求曲线 5.4需求函数与需求曲线 5.4需求函数与需求曲线 同理，对消费者在效用限制下支出极小的最优解也是唯一存在的，设为 习题： 5.2 以效用函数u(x)=x1x2为例，求出并比较Marshall和Hicks需求函数。 5.4需求函数与需求曲线 5.4需求函数与需求曲线 5.5 比较静态分析——Slutsky方程 研究当价格和收入变动时，消费者的需求将随之发生怎样的变化？在经济学里称为比较静态分析、先看两个单因数的问题，参见图5.9。 1.当收入变化，价格不变时，消费者需求变化的轨迹，称为收入扩张曲线（或Engle曲线）。 2.当收入不变，只有一种商品的价格变化（如p1下降，其他商品的价格不变）时，消费者需求的变化的轨迹，称为价格变动曲线。 5.5比较静态分析——Slutsky方程 注意在讨论比较静态分析时，则始终认为消费者是按最优行为决定其消费需求的，即当收入与价格发生变化时，预算线随之移动，而需求始终保持在预算线与无差别曲线相切的切点处。即在变化过程中，始终要满足一阶必要条件。这也正是比较静态分析的出发点。 两个变量时的Slutsky方程 本问题中，考虑两种商品xl和x2的情形。消费者对这些商品的需求为下面问题的解： max u(xl,x2） s. t. p1x1+p2x2=m 这里的内生变量为需求量xl和x2 ，外生变量为价格p1和p2以及收入m,有下列方程成立： 5.5比较静态分析——Slutsky方程 简单推导： 拉格朗日法可得如下一阶条件： 下面，我们看一下价格和收入变化对需