《双曲线的简单几何性质》教案、导学案、同步练习.docx

《3.2.2双曲线的简单几何性质》教案 （第一课时） 【教材分析】 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习双曲线的简单几何性质 学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。 坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学 【教学目标与核心素养】 课程目标 学科素养 A.掌握双曲线的简单几何性质. B.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 1.数学抽象：双曲线的几何性质 2.逻辑推理：类比椭圆研究双曲线的几何性质 3.数学运算：运用双曲线的标准方程讨论几何性质 4.直观想象：双曲线的几何性质 【教学重点】：运用双曲线的方程获得几何性质 【教学难点】：双曲线的渐近线及离心率的意义 【教学过程】 教学过程 教学设计意图 一、问题导学 类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线 x2a2-y 的哪些几何性质，如何研究这些性质？ 1、范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程x2 x2 于是，双曲线上点的坐标（ x?， y?）都适合不等式， x 所以x≥a 或x≤-a; y∈R 2、对称性 x2a2-y x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。 3、顶点 （1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 . 顶点是A1-a,0 （2）如图，线段A1A2 它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长。 （3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 4、渐近线 （1）双曲线x2a2-y2 （2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 4、渐近线 慢慢靠近 5、离心率 （1）定义：e = c （2）e的范围：e 1 （3）e的含义： 因为ca0,所以可以看出e1，另外，注意到ba 如果双曲线C的标准方程是 y2a2-x 那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中， 那些与焦点在x轴上的双曲线是有区别的？ 双曲线的几何性质 标准方程 图形 标准方程 性 质 范围 x≤-a或x≥a y∈R y≤-a或y≥a x∈R 对称性 对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点 顶点坐标 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 轴 实轴:线段A1A2,长:2a; 虚轴:线段B1B2,长:2b; 半实轴长:a,半虚轴长:b 渐近线 y=±b y=±a 离心率 a,b,c间的关系 c2=a2+b2(ca0,cb0) (1)双曲线与椭圆的六个不同点: ? 双曲线 椭圆 曲线 两支曲线 封闭的曲线 顶点 两个顶点 四个顶点 轴 实、虚轴 长、短轴 渐近线 有渐近线 无渐近线 离心率 e1 0e1 a,b,c关系 a2+b2=c2 a2-b2=c2 (2)等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为 2 . (3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线. 1.判断 (1)双曲线x2a2 (2)双曲线x2a2 (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√ 2.圆锥曲线x2 A.-5　　　B.-35 C.19 D.-11 解析:由圆锥曲线x2 所以m-8,∴e=9- 答案:B 二、典例解析 例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解:将9y2-4x2=-36化为标准方程为x2 即x232 因此顶点坐标为(-3,0),(3,0), 焦点坐标为(-13,0),(13,0), 实轴长2a=6,虚轴长2b=4, 离心率e=ca 渐近线方程为y=±bax=±2 由双曲线的方程研究其几何性质的注意点 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值. (3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质. 跟踪训练1 求双曲线nx2-my2=mn(m0,n0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 解:把方程nx2-my2=mn(m0,n0) 化为标准方程为x2 由此可知,半实轴长a=m, 半虚轴长b=n,c=m+n, 焦点