初三数学二次函数知识点总结及经典习题.doc

PAGE PAGE PAGE 1 《二次函数》知识点总结 一. 二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 二. 二次函数的图像和性质 表达式 (a≠0) a值 图像 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 增减性 最值 ①y=ax2 a＞0 向上 y轴 （0，0） ①当x＞0时，y随x的增大而增大 ②当x＜0时，y随x的增大而减小 当x=0时，y有最小值，即=0 a＜0 向下 y轴 （0，0） ①当x＞0时，y随x的增大而减小 ②当x＜0时，y随x的增大而增大 当x=0时，y有最大值，即=0 ②y=ax2+k a＞0 向上 y轴 （0，k） ①当x＞0时，y随x的增大而增大 ②当x＜0时，y随x的增大而减小 当x=0时，y有最小值，即=k a＜0 向下 y轴 （0，k） ①当x＞0时，y随x的增大而减小 ②当x＜0时，y随x的增大而增大 当x=0时，y有最大值，即=k ③y=a(x-h)2 a＞0 向上 直线x=h （h，0） ①当x＞h时，y随x的增大而增大 ②当x＜0时，y随x的增大而减小 当x=h时，y有最小值，即=0 a＜0 向下 直线x=h （h，0） ①当x＞h时，y随x的增大而减小 ②当x＜0时，y随x的增大而增大 当x=h时，y有最大值，即=0 ④y=a(x-h)2+k a＞0 向上 直线x=h （h，k） ①当x＞h时，y随x的增大而增大 ②当x＜h时，y随x的增大而减小 当x=h时，y有最小值，即=k a＜0 向下 直线x=h （h，k） ①当x＞h时，y随x的增大而减小 ②当x＜h时，y随x的增大而增大 当x=h时，y有最大值，即=k ⑤ y=ax2+bx+c 可化为： y=a(x+2+ a＞0 向上 直线x=- （-，） ①当x＞-时，y随x的增大而增大 ②当x＜-时，y随x的增大而减小 当x=-时， y有最小值，= a＜0 向下 直线x=- （-，） ①当x＞-时，y随x的增大而减小 ②当x＜-时，y随x的增大而增大 当x=-时， y有最大值，即 y最大值= 三. 二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减（自变量），上加下减（常数项）” 温馨提示 二次函数图像间的平移可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图像间的平移. 四.二次函数与的比较 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中． 五．二次函数解析式的三种表示方法 名称 解析式 使用范围 一般式 已知任意三个点 顶点式 已知顶点（h，k）及另一点 交点式 已知与x轴的两个交点及另一个点 温馨提示 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化，将顶点式、交点式去括号、合并同类项就可转化为一般式，把一般式配方、因式分解就可转化为顶点式、交点式. 六．二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数【a决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线开口的大小】 ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，a的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越大，开口越大，的值越大，开口越大． 注：|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线开口越大 抛物线的形状相同，即|a|相同. 一次项系数【由a和对称轴共同决定】 对称轴在y轴的左侧，a，b同号；对称轴在y轴的右侧，a，b异号. （左同右异 b为0时，对称轴为y轴） 3. 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置． 七．二次函数图象（抛物线）与x轴交点情况的判断： y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c都是常数） 1.△=b2-4ac＞0抛物线