陕西省汉中市西乡县第一中学2024−2025学年高三下学期3月月考 数学试题（含解析）.docx
陕西省汉中市西乡县第一中学2024?2025学年高三下学期3月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．抛物线的焦点坐标为（）
A． B． C． D．
2．若集合，，则（????）
A． B． C． D．
3．在复平面内，复数所对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知单位向量满足，则（????）
A．8 B．3 C． D．
5．等比数列的前项和为，若，则（）
A． B． C． D．
6．已知，则（）
A． B． C． D．
7．已知面积为的正三角形的所有顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（????）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列结论正确的是（????）
A．数据的第70百分位数是23.
B．随机变量X服从二项分布，则
C．一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60.
D．随机变量X服从正态分布，且，则
10．已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（）
A．
B．函数的最大值为
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上单调递增
11．双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（）
A．
B．上存在点，使得
C．上的点的纵坐标的最大值为
D．若直线与恰有一个公共点，则的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，则．
13．现从5名男生、4名女生中分别选3名男生和2名女生参加社区服务，若其中男生甲和女生乙至少有一人被选派的情况下，这两人均被选派的概率为．
14．，是双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，，的角平分线交轴于点，若，则双曲线的离心率为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长.
16．在数列中，，．
(1)若，证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
17．为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：
??
(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
(2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）.
18．已知函数.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设，若，求实数的取值范围.
19．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
（i）若，求异面直线和所成角的余弦值；
（ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】A
【详解】抛物线化为标准方程可得，
故，焦点坐标为.
故选A.
2．【答案】B
【详解】因为，，
所以不成立，，故CD错误，
则，，故A错误，B正确，
故选B.
3．【答案】D
【详解】，
所以复数所对应的点位于第四象限.
故选D.
4．【答案】D
【详解】由题意得，即，
则，化简得，
则，
故选D.
5．【答案】D
【详解】设的公比为，则，从而，
则，
故选D.
6．【答案】C
【详解】因为，
所以.
因为，
所以.
故选C.
7．【答案】B
【详解】设球的半径为外接圆圆心为，半径为的边长为．
因为是面积为的等边三角形，所以，解得，
所以，所以，解得，
则，则球的表面积为，故正确.
故选B.
8．【答案】B
【详解】因为，所以，
设，因为，，则在上是增函数，
因，故，
因为为定义在上的奇函数，所以为奇函数，
所以，
不等式可转化为，即，
所以，即的解集为．
故选B.
9．【答案】BC
【详解】对选