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浅谈对数学建模的初步认识
组员:吴超
王
章
信息与计算科学101班
浅谈对数学建模的初步认识
从现实现象到数学模型
模型是为了一定目的,对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。在现实生活中,我们会见到许许多多的模型,如:玩具、照片、飞机、火箭模型等这类实物模型;水箱中的舰艇、风洞中的飞机等这类物理模型;地图、电路图、分子结构图等这类符号模型。
数学模型的分类有很多不同的分法,如按应用领域分,有人口、交通、经济、生态等;按数学方法分,有初等数学、微分方程、规划、统计等;按表现特性分,有确定和随机、静态和动态、离散和连续、线性和非线性等等;按建模目的分,有描述、优化、预报、决策等。
数学建模就是建立数学模型的全过程:对于一个现实对象,为了一个特定目的,根据其内在规律,作出必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。下图为数学建模全过程:
其中,表述是指根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题;求解是指选择适当的数学方法求得数学模型的解答;解释是指将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象;验证是指用现实对象的信息检验得到的解答。全过程就是一个从实践到理论,在从理论回到实践的过程。
二.数学建模的相关基本概念
当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时,人们就要在深入调查研究、了解对象有关信息、作出合理、简化的假设、分析内在规律等工作的基础上,用数学的符号和语言,把它表述为数学式子,也就是数学模型,然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题,并接受实际的检验。这个建立数学模型(Mathematical Model)的全过程就称为数学建模(Mathematical Modeling)。即数学建模是一个由“模型准备→模型假设→模型构成→模型求解→模型分析→模型检验→模型应用”的过程。
模型准备:即了解问题的时机背景,明确建模的目的;搜寻有关的信息,掌握对象的特征。
模型假设:针对问题的特点和建模的目的,做出合理简化的假设。
模型构成:用数学的语言、符号来描述问题。(使用类比发等)。
模型求解:应用各种数学方法、软件、计算机技术等。
模型分析:例如:对结果的误差分析或者统计分析,对模型对数据的稳定性分析等。
模型检验:用现实对象的信息检验得到的结果。
模型应用:因问题的性质和建模的目的而异。
而数学建模的具体应用可用下图直观的表达出来:
三.数学建模的重要意义
数学建模的重点在于“建模”。在人类发展史上,无论哪个领域都存在着“建模”的影子。例如物理学家为了研究天体的运行而建立的模型;生物学家为了研究遗传的奥秘而建立的DNA双螺旋结构等,这些都离不开“建模”。而数学建模是应用数学的方法来研究并解决问题。应用“数学建模”不仅仅解决了问题,在整个过程中,我们通过建模锻炼了分析问题、解决问题的能力,更有效率的发现问题的实质。
数学建模通常要求大家小组合作,集思广益。因此团队精神是成功的一个重要条件。依靠自身的能力可以解决的问题有限,知识也存在着局限,此时就看重团队的合作与协调能力。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步,越来越受到人们的重视。数学建模使得电子计算机出现并飞速发展,数学也以空前的广度和深度向一切领域渗透。如今,在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地;在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具;数学进入一些新领域,为数学建模开辟了许多新方向。
数学模型的方法与步骤
数学建模的基本方法有:
机理分析:根据对客观事物特性的认识,找出反映内部机理的数量规律;
测试分析:将对象看作“黑箱”,通过对测量数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型;
二者的结合:用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。
数学建模的一般步骤上面也有一些提到过了,也就是数学建模的一个过程,可以用下图表现:
基本实例简略分析
例:商人怎样安全过河?
三名商人各带一个随从乘船渡河,一只小船只能容纳二人,由他们自已划行,随从们密约,在河的一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货,但是如何乘船渡河大权掌握在商人手中,商人们怎样才能安全渡河呢?
这里是要用数学方法求解,一是为了给出建模的示例,二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题,比逻辑思索的结果容易推广。由于问题已经理想化了,所以不必再作假设。安全渡河问题可
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