初中数学竞赛辅导讲义的习题解答 第26讲 开放性问题评说.doc

第二十六讲 开放性问题评说 一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果题目所含的四个要素是解题者已经知道，或者结论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性的数学问题． 开放性问题是相对于封闭性问题而言，从所呈现问题的方式看，有下列几种基本形式： 1．条件开放题 称条件不充分或没有确定已知条件的开放性问题为条件开放题，解题时需执果寻因，根据结论和已有的已知条件，寻找使得结论成立的其他条件． 2．结论开放题 称结论不确定或没有确定结论的开放性问题为结论开放题，解题时需由因导果，由已知条件导出相应结论． 3．判断性开放题 称判定几何图形的形状大小、图形的位置关系、方程(组)的解的情况或判定具有某种性质的数学对象是否存在的开放题问题称为判断性开放题，解题的基本思路是：由已知条件及知识作出判断，然后加以证明． 【例题求解】 【例1】 如图，⊙O与⊙O1外切于点T，PT为其内公切线，AB为其外公切线，且A、B为切点，AB与PT相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明． 思路点拨 为了能写出更多的正确结论，我们可以从以下几分角度作探索，线段关系，角的关系、三角形的关系及由此推出的相应结论． 注：明确要求将数学开放性题作为中考试题，还是近一二年的事情．开放性问题没有明确的目标和解题方向，留有极大的探索空间． 解开放性问题，不具有定向的解题思路，解题时总要有合情合理、实事求是的分析，要把归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理相互结合起来，把一般能力和数学能力 同时发挥出来．杭州市对本例评分标准是以正确结论的难易程度为标准灵活打分，分值直接反映考生的能力及创新性． 【例2】 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是BD的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E． (1)求证：AB·DA=CO·BE； (2)若点E在CB延长线上运动，点A在BD上运动，使切线EA变为割线EFA，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立? (要求画出示意图，注明条件，不要求证明) 思路点拨 对于(2)，能画出图形尽可能画出图形，要使结论AB·DA=CD·BE成立，即要证△ABE∽△CDA，已有条件∠ABE=∠CDA，还需增加等角条件，这可由多种途径得到． 注：许多开放性问题解题思路也是开放的(多角度、多维度思考)，探索的条件或结论并不惟一．故解开放性问题，应尽可能深入探究，发散思维，提高思维的品质，切忌入宝山而空返． 【例3】(1)如图1，若⊙O1与⊙O2外切于A，BC是⊙O1与⊙O2外公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC． (2)如图2，若⊙O1与⊙O2外离，BC是⊙O1与⊙O2的外公切线，B、C为切点，连心线O1 O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N，BM、CN的延长线交于P，则BP与CP是否垂直?证明你的结论． (3)如图3，若⊙O1与⊙O2相交，BC是⊙O1与⊙O2的公切线，B、C为切点，连心线O1 O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N，Q是线段MN上一点，连结BQ、CQ，则BQ与CQ是否垂直?证明你的结论． 思路点拨 本例是在基本条件不变的情况下，通过运动改变两圆的位置而设计的，在运动变化中，结论可能改变或不变，关键是把(1)的证法类比运用到(2)、(3)问题中． 注：开放性问题还有以下呈现方式： (1)先提出特殊情况进行研究，再要求归纳猜测和确定一般结论； (2)先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论应发生的变化，或改变结论时其条件相应发生的变化． 【例4】 已知直线 (0)与轴、轴分别交于A、C两点，开口向上的抛物线过A、C两点，且与轴交于另一点B． (1)如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO＝3BO，点B到直线AC的距离等于，求这条直线和抛物线的解析式； (2)是否存在这样的抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC外接圆截得轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 思路点拨 (1)通过“点B到直线AC的距离等于”，利用等积变换求出A、B两点的距离；(2)先假设存在这样的抛物线，再由条件推理计算求得，最后加以验证即可． 注：解存在性开放问题的基本方法是假设求解法，即假设