隐式差分方程课件（副本）.ppt

2.3 隐式差分格式 与显式差分格式不同，隐式差分格式中包括了（n+1）时间层上二个或二个以上结点处的未知值（例如 ），使用隐式差分格式和使用显式差分格式求解完全不同。相对而言，使用隐式差分格式求解，每时间层包含有较多的计算工作量。从后面对差分格式的稳定性分析可知，隐式格式的优点在于，其稳定性要求对步长比的限制大为放宽，而这正是我们所期望的。 2.3.1 古典隐式格式 现在对热传导方程 推导其最简单的隐式差分逼近——古典隐式格式。由 故 式中左边如果仅保留二阶导数项，且以 替代 ，则得差分格式 或者 （2.41） 格式用图2.5表示，其截断误差阶为 ,与古典差分格式相同。 图2.5： 为了求得第（n+1）时间层上的 的值，必须通过解线性代数方程组。这是一个隐式差分格式，必须联合其初边值条件求解。格式（2.41）通常称为古典隐式格式。 我们也可以通过直接用差分算子代替 的方法，即 代入微分方程，得到格式（2.41）。 2.3.2 Crank-Nicolson隐式格式 Crank-Nicolson隐式差分格式是解热传导方程（2.26）的常用的差分格式，为了推导它，由式（2.24），有 由 得 （2.42） 两边仅保留前二项，用 代替 ，则得差分格式 （2.43） 这是一个隐式差分格式，称为Crank-Nicolson差分格式，截断误差阶为 ，也可写为 （2.44） 由于格式（2.44）中包括六个结点，故也可称为六点格式（如图2.6所示）。 图2.6 也可将 代入微分方程（2.26），得到Crank-Nicolson格式。 基于如同Crank-Nicolson格式一样的六个网格结点可获得另一精度较高的差分格式，如在前式（2.42）中仅保留直到 的项，即有 由式(2.19.3),可令 则可得 代入上式，则有如下差分格式： （2.45） 它称为Douglas差分格式，具有截断误差阶 。 例2.1 解初边值问题 { 应用（1） Crank-Nicolson差分格式，（2）Douglas差分格式解上述问题。对每一种情况，令 （r的这个值对Douglas格式有最小的截断误差），由初值条件和边值条件通过上述二个格式的每一个逐层求出 的值。一般而言，当由第n层去求第（n+1）层的解时，二个格式的每一个都需解一线性代数方程组，其系数是三对角阵，可用追赶法求解（见2.4）。已知上述定解问题的理论解，记为 ， 有 记 分别为用高速数字计算机解出的Crank-Nicolson格式的解，而 分别表示它们对精确解的误差，在 ，时间层n上， 。 它们的值由表2.2给出。 2.3.3 加权六点隐式格式 前面，我们已经推导了热传导方程（2.26）的古典显示格式，古典显示格式及Crank-Nicolson格式等。实际上，它们都可以作为本节推导的加权六点隐式格式的特殊情形。 由 得 即 两边去掉高于二阶导数的项，且用 代替 ，则得差分格式 或者