(二次函数根与系数的关系.doc
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1、如图,已知抛物线y=-x2+3x+6交y轴于A点,点C(4,k)在抛物线上,将抛物线向右平移n个单位长度后与直线AC交于M、N两点,且M、N关于C点成中心对称,求n的值。
解:∵点A、C在抛物线y=-x2+3x+6上
∴令x=0则y=6,令x=4则y=2
∴A(0,6) C(4,2)
∴AC:y=-x+6
令抛物线y=-x2+3x+6的顶点为G
则G(1.5,8.25)
抛物线向右平移n个单位后,G点对应点G’坐
标为(1.5+n,8.25)
设新抛物线解析式为y=-[x-(1.5+n)]2+8.25
联立:
∴x2-(4+2n)x+n2+3n=0
∴=4+2n
∵点M、N关于C点中心对称
∴==2
∴n=2
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2、如图,已知抛物线y=-x2+2x+3与坐标轴交于A、B、C三点,点D、C关于原点对称,点M、N是抛物线上两点,且四边形CMDN为平行四边形,求点M、N的坐标。
解:∵点A、B、C在抛物线y=-x2+2x+3上
∴令x=0则y=3 令y=0则=-1,=3
∴C(0,3) A(-1,0) B(3,0)
∵点D、C关于原点对称
∴D(0,3)
∵四边形CMDA是平行四边形
∴ CN∥且=MD
设N(m,n)
∵MN关于原点对称
∴ M(-m,-n)
∵M、N在抛物线y=-x2+2x+3上
∴
∴= =-(舍)
∴n=2
∴N(,2)
M(-,-2)
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3、如图,已知抛物线y=x2-4x+3,过点D(0,-)的直线与抛物线交于点M、N,与x轴交于点E,且点M、N与X轴交于E点,且M、N关于点E对称,求直线MN的解析式。
解:∵D(0,-)
∴设直线MN的解析式为y=kx-
∴
∴kx-= x2-4x+3
∴x2-(4+k)x+=0
+=-=4+k
∵+=0=k(4+k)
∴k=1或-5(舍)
∴直线MN的解析式为y=x-
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4、如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点M是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标。
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解:⑴∵抛物线与y轴交于点C(0,3),
∴设抛物线解析式为
根据题意,得,解得
∴抛物线的解析式为
⑵由得,D点坐标为(1,4),对称轴为x=1。
①若以CD为底边,则PD=PC,设P点坐标为(x,y),根据勾股定理,
得,即y=4-x。
又P点(x,y)在抛物线上,∴,即
解得,,应舍去。∴。
∴,即点P坐标为。
②若以CD为一腰,因为点P在对称轴右侧的抛物线上,
由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称,
此时点P坐标为(2,3)。
∴符合条件的点P坐标为或(2,3)。
⑶由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾
股定理,得CB=,CD=,BD=
∴
∴∠BCD=90°
设对称轴交x轴于点E,过C作CM⊥DE,交抛物线于点M,垂足为F,在Rt△DCF中,
∵CF=DF=1,
∴∠CDF=45°,
由抛物线对称性可知,∠CDM=2×45°=90°,点坐标M为(2,3),
∴DM∥BC,
∴四边形BCDM为直角梯形
由∠BCD=90°及题意可知,
以BC为一底时,顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
不存在以CD为一底或以BD为一底,且顶点M在抛物线上的直角梯形
∴综上所述,符合条件的点M的坐标为(2,3)。
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