专题19几何变式探究和类比变换综合类问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案（解析版）【全国通用】.pdf

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用）

专题19几何变式探究和类比变换综合类问题

【方法指导】

图形的类比变换是近年来中考的常考点，常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形

全等或相似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行

类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等．

解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、

方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识综合起来，渗透数形

结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力.

【题型剖析】

【类型1】几何类比变换综合题

【例1】（2020•襄阳）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE

交边BC于点F，连接CE．

（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，

①求证BD＝CF；

②推断：∠ACE＝90°；

（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；

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（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当=时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC

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于点K，若CK=，求DF的长．

3

【分析】（1）①证明△ABD≌△ACF（AAS）可得结论．

②利用四点共圆的性质解决问题即可．

（2）结论不变．利用四点共圆证明即可．

（3）如图3中，连接EK．首先证明AB＝AC＝3EC，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，在Rt△KCE中，利

用勾股定理求出a，再求出DP，PF即可解决问题．

【解析】（1）①证明：如图1中，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACF，

∵AD＝AF，

∴∠ADF＝∠AFD，

∴∠ADB＝∠AFC，

∴△ABD≌△ACF（AAS），

∴BD＝CF．

②结论：∠ACE＝90°．

理由：如图1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ACD＝∠AED＝45°，

∴A，D，E，C四点共圆，

∴∠ADE+∠ACE＝180°，

∴∠ACE＝90°．

故答案为90．

（2）结论：∠ACE＝90°．

理由：如图2中，

∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ACD＝∠AED＝45°，

∴A，D，E，C四点共圆，

∴∠ADE+∠ACE＝180°，

∴∠ACE＝90°．

（3）如图3中，连接EK．

∵∠BAC+∠ACE＝180°，

∴AB∥CE，

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∴==，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a―，

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∵DA＝DE，DK⊥AE，

∴AP＝PE，

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∴AK＝KE＝3a―，

3

222

∵EK＝CK+EC，

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222

∴（3a―）＝（）+a，

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解得a＝4或0（舍弃），