几种求平面图形面积的方法 毕业论文 (2).doc

揭阳职业技术学院 毕 业 论 文 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题 目：几种求平面图形面积的方法　　　　　　　　 学生姓名　 xxx 　　 指导教师　 xxx 系（部）　师范教育系 专 业 数学教育 班　　级　 数教094 　 　 学　　号 xxxxxx 提交日期 201 年 月 日 答辩日期 201 年 月 日 201 年 月 日 几种求平面图形面积的方法 摘 要 本文研究的主要问题是平面内图形面积的几种解法，解题方法是指解答数学问题时，总体上所采取的方针、原则和方案。不同题目通过分析条件与结论之间的差异，并不断缩小目标差来完成的。 关键词：平面图形 面积 目 录 现介绍几种常用的方法……………………………………（1） （一）转化法 …………………………………………………………（1） （二）和差法 …………………………………………………………（1） （三）重叠法 …………………………………………………………（2） （四）补形法 …………………………………………………………（2） （五）拼接法 …………………………………………………………（2） （六）特殊位置法 ……………………………………………………（3） （七）代数法 …………………………………………………………（3） （八）直角坐标系-积分法 …………………………………………（4） 1、巧选积分变量 ………………………………………………（4） 2、巧用对称性 …………………………………………………（5） 参考文献 ……………………………………………（6） （一）转化法 此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。 例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和围成的阴影部分图形的面积为_________。 分析：连结CD、OC、OD，如图2。易证AB//CD，则的面积相等，所以图中阴影部分的面积就等于扇形OCD的面积。 易得，故。 和差法 有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。 例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，为圆，求阴影部分面积。 分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形ABCD、扇形ADE、。所以，。 （三）重叠法 就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。 例3. 如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。 解：因为4个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面积等于4个半圆的面积和与正方形面积的差。故。 （四）补形法 将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。 例4. 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，A=60°，B=D=90°，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。 解：延长BC、AD，交于点E，因为，所以角E等于30°，又，易求得，所以 。 （五）拼接法 例5. 如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。 解：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；（2）将左侧的草地向右平移c个单位；（3）得到一个新的矩形（如图7）。由于新矩形的纵向宽仍然为b，水平方向的长变成了，所以草地的面积为。 （六）特殊位置法 例6. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_______。 分析：在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图9）。 解：移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图9。设切点为H，连结OH、OB，由垂径定理，知。又AB切小半圆于点H，故，故 （七）代数法 将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。 例7. 如图10，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面积。 解：设阴影部分的面积为x，剩下的两块形状、大小相同的每块面积为