2015步步高高中数学理科文档第八篇8.2.doc

§8.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 1.平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内)) (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角). ②范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))). 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a. (　√　) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线. (　×　) (3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A. (　×　) (4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC. (　×　) (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面. (　√　) 2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b (　　) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 答案　C 解析　由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾. 3.下列命题正确的个数为 (　　) ①经过三点确定一个平面 ②梯形可以确定一个平面 ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确； 两条平行线可以确定一个平面，∴②正确； 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确； 命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确. 4.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，B， C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过 (　　) A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M 答案　D 解析　∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根据公理3可知，M在γ与β的交线上. 同理可知，点C也在γ与β的交线上. 5.已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：①MN≥eq \f(1,2)(AC＋BD)；②MNeq \f(1,2)(AC＋BD)；③MN＝eq \f(1,2)(AC＋BD)；④MNeq \f(1,2)(AC＋BD). 其中正确的是________. 答案　④ 解析　如图，取BC的中点O， 连接MO、NO， 则OM＝eq \f(1,2)AC，ON＝eq \f(1,2)BD， 在△MON中，MNOM＋ON＝eq \f(1,2)(AC＋BD)， ∴④正确. 题型一　平面基本性质的应用 例1　如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1 的中点.求证： (1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点. 思维启迪　(1)两条相交直线或两条平行直线确定一个平面； (2)可以先证CE与D1F交于一点，然后再证该点在直线DA上. 证明　(1)连接EF，CD1，A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E、C、D1、F四点共面. (2)∵EF∥CD1，EFCD1， ∴CE与D1F必相交，设交点为P， 则由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点. 思维升华　公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据. 　(1)以下四个命题中 ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A、B、C、D共面，