倒立摆的lqr稳定控制器设计.pptx

基于LQR最优化的一级倒立摆控制系统设计前言倒立摆的最初研究开始于20世纪50年代，由美国麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计；而后人们有参照双足机器人控制问题研究出二级倒立摆设备，从而提高了检验控制论和方法的能力，也拓宽了检验范围。 在控制理论上倒立摆使许多抽象概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以直观的表现出来。同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。一、设计目的1.了解倒立摆控制系统在国内外发展动态。2.建立一级倒立摆系统的数学模型。3.基于状态空间模型，采用LQR最优化方法，设计出倒立摆的状态反馈控制器。4.搭建出倒立摆控制系统的Simulink模型，进行控制系统仿真实验。二. 建立模型及分析 1.建模 在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示： 采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：建立模型及分析线性化后两个方程如下： 取状态变量：则系统的状态方程为：建立模型及分析这里设：将参数带入有，并写为状态空间方程，有：建立模型及分析四个状态量分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出 包括小车位置和摆杆角度。设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的位置。假定全状态反馈可以实现（4个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量K,用MATLAB中的lqr函数，可以得到最优控制器对应的K。lqr函数允许选择两个参数R和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。建立模型及分析2.稳定性分析对建模后的一级倒立摆系统进行阶跃响应分析，有下图 由图可以看出，小车位移和摆杆角度都是发散的，所以倒立摆系统不稳定建立模型及分析3． 能控性能分析系统能控性是控制器设计的前提，由能控性矩阵M=[B?AB?…An-1B?]，利用MATLAB可得出Rank(M)=4,所以系统完全可控。 三、LQR控制器的设计 1.二次型最优调节器问题 ： 已知状态完全能控的线性连续定常系统，其状态方程为： 确定下列最优控制向量： 使得下列二次型性能指标达到最小值: 线性二次最优控制LQR最优调节器问题的解 ： 式中 是代数Riccati方程: 的正定矩阵解 。LQR控制器的设计 2.用完全状态反馈设计控制器 系统在阶跃输入R作用下会偏离平衡状态，需要设计控制器使得摆杆在控制器的作用下仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。LQR控制器的设计 3.步骤（1）要设计LQR控制器，必须要根据需要设定参数加权矩阵Q和R，通过调整他们的元素的大小，调整对“状态变量接近于平衡状态”和“控制能量不能太大”这两个不同目标的重视的程度。（2）确定了加权矩阵Q和R以后，找出确定反馈控制规律的K。（3）Matlab提供了lqr函数，可以得到最优控制对应的K。其调用格式：LQR控制器的设计4.Q和R的选择 Q=[ Q11 0 0 0；0 0 0 0；0 0 Q33 0；0 0 0 0 ] (1)Q11=1，Q33=1 得：K= [ -1 -1.7855 25.422 4.6849]LQR控制的阶跃响应曲线 LQR控制器的设计 (1)Q11=5000，Q33=100 得：K=[-70.7107 -38.1782 110.8049 20.3521] LQR控制的阶跃响应曲线 四，Simulink仿真在simulink环境下建立直线一级倒立摆模型，如图所示SIMULINK仿真取Q11=1，Q33=1时，输出的阶跃响应曲线 取Q11=5000，Q33=100时，输出的阶跃响应曲线SIMULINK仿真五.心得体会 建立了一级倒立摆的数学模型，并设计了LQR控制器，用MATLAB实现了控制系统的仿真，得到了一级倒立摆各状态量及控制量的响应曲线。由实验结果可以看到，本次课设完成了要求，达到了目的。当然由于知识有限设计还有一些缺陷。 对控制理论有了更深一步的理解。在把课上学到的方法应用到实际问题的解决中，拓宽了思路，开拓了眼界，受益匪浅。感谢老师对我们悉心的指导。 谢谢观看！